基礎知識

ここでは空間における直線の方程式について解説します。

空間における直線の方程式は、学習指導要領には含まれていないにも関わらず大学入試問題で必要となることがあります。

教わっていないとしても、すでに教わっている知識のみで空間における直線の方程式を導出することは可能ですので、大学側はそのような人材を求めているということなのでしょう。

初見では面食らってしまって手も足も出ない可能性がありますが、成り立ちさえ知っていれば簡単に対処できるものなので、ぜひ学習しておきましょう。

空間における直線の方程式

空間における直線の方程式の証明

空間内の直線 $AB$ 上に点 $P$ をとると、媒介変数 $s$ を用いて、

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} &=& \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} \\\\ &=& \overrightarrow{OA} + s(\overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}) \\\\ &=& (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} \end{array}$$

ここで、点 $A(x_1, y_1, z_1), $ 点 $ B(x_2, y_2, z_2)$ とし、直線 $AB$ 上の点 $P$ の座標を $(x, y, z)$ として、上式を成分表示すると、

$(x, y, z) $
$=(1-s)(x_1, y_1, z_1) + s(x_2, y_2, z_2) $
$= ( (1-s)x_1 + sx_2, (1-s)y_1 + sy_2, (1-s)z_1 + sz_2 )$

よって、連立方程式

$$\begin{align} \begin{cases} x = (1-s)x_1 + sx_2 \\\\ y = (1-s)y_1 + sy_2 \\\\ z = (1-s)z_1 + sz_2 \end{cases} \end{align}$$

から媒介変数 $s$ を削除した結果が、空間における直線の方程式になります。

ここで、

$$\begin{array}{rcl} x &=& (1-s)x_1 + sx_2　\\\\ x &=& x_1 + s(x_2 – x_1)　\\\\ s(x_2 – x_1) &=& x – x_1 　\\\\ s &=& \cfrac{x – x_1}{x_2 – x_1} 　 \end{array}$$

より、(1)式は

$$\begin{array}{rcl} \begin{cases} s = \cfrac{x – x_1}{x_2 – x_1} 　\\\\ s = \cfrac{y – y_1}{y_2 – y_1} 　\\\\ s = \cfrac{z – z_1}{z_2 – z_1} 　 \end{cases} \end{array}$$

となるので、空間における直線の方程式は、

であることが証明されました。

空間における直線の方程式の説明の終わりに

いかがでしたか？

ベクトルに関する基本的な理解さえあれば、空間における直線の方程式は簡単に導くことができることがおわかりいただけたかと思います。

空間における直線の方程式は指導要領に含まれていないので、この公式を使用することのないようにしてください。

その場で証明すれば使用して構わないとは思いますが、証明することが必要ならば公式自体はそもそも覚えていなくても問題ありませんね？

このことについて、詳しくは下の記事をご覧ください。

数学の公式は丸暗記しちゃダメ！公式は覚えるものではなく「証明」して作るものです

繰り返しになりますがこの公式は覚えずに、導出方法自体を覚えておくことにしておきましょう。

【基礎】空間のベクトルのまとめ