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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

解法

【慶應義塾大学の入試問題を解説!】2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2

慶応の入試問題を解説!

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(1)

マスマスターの思考回路

問題文が長いですが、順番に対応していきましょう。

さいころを一回投げて出た目について、

1または2である事象をA(確率は \frac{1}{3}
3または4である事象をB(確率は \frac{1}{3}
5または6である事象をC(確率は \frac{1}{3}

とします。

マスマスターの思考回路

BとCが同じ回数発生すれば点Pのy座標が0になります。
さいころは2回投げるので、BとCがそれぞれ0回または1回発生する場合が該当します。

BとCがそれぞれ0回発生することは、2回ともAが発生することと同じで、その確率は、

(1)   \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{1}{3}\right)^2 &=& \cfrac{1}{9} \\\\\end{eqnarray*}

BとCがそれぞれ1回発生する確率は、

(2)   \begin{eqnarray*}2 \cdot \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{1}{3} &=& \cfrac{2}{9} \\\\\end{eqnarray*}

(1) + (2) より、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{1}{9} + \cfrac{2}{9} &=& \cfrac{3}{9} \\\\&=& \cfrac{1}{3} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(オ)\cfrac{1}{3}

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(2)

マスマスターの思考回路

x \geqq 1またはy \geqq 1という状況は少し考えにくい印象を受けます。

この余事象(否定)を考えてみると、x < 1かつy < 1であり、これは前提としてAが一度も発生してはいけないという事を意味しています。 そのうえで、Bが2回以上発生してしまうとy < 1を満たさなくなることから、 Bが0回または1回のときに限られるということがわかります。

Bが1回、Cが2回発生する確率は、反復試行の確率により、

(3)   \begin{eqnarray*}{}_3 \mathrm{C} _1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 &=& \cfrac{3}{3^3} \\\\&=& \cfrac{1}{9} \\\\\end{eqnarray*}

Bが0回、Cが3回発生する確率は、

(4)   \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{1}{3}\right)^3 &=& \cfrac{1}{27} \\\\\end{eqnarray*}

余事象を考えていることと、(3)式(4)式 より、

    \begin{eqnarray*}1 - \left( \cfrac{1}{9} + \cfrac{1}{27} \right) &=& \cfrac{27-3-1}{27} \\\\&=& \cfrac{23}{27}\end{eqnarray*}

よって、

(カ)\cfrac{23}{27}

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(3)

マスマスターの思考回路

点Pのx座標が2以上となるには、Bが少なくとも2回発生することと同じになります。
つまり、Bが2回または3回または4回発生する確率を求めれば良いのですが、その余事象であるBが0回または1回発生する確率を求める方が楽ですね。余事象を利用する方針で進めましょう。

Bが0回発生する確率は、

(5)   \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{2}{3}\right)^4 &=& \cfrac{16}{81}\end{eqnarray*}

Bが1回発生する確率は、

(6)   \begin{eqnarray*}{}_4 \mathrm{C} _1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1\left(\cfrac{2}{3}\right)^3 &=& \cfrac{4\cdot 2^3}{3^4} \\\\&=& \cfrac{32}{81} \\\\\end{eqnarray*}

余事象を考えていることと、(5)式(6)式 より、

    \begin{eqnarray*}1 - \left( \cfrac{16}{81}+ \cfrac{32}{81} \right) &=& \cfrac{81 - 16 - 32}{81} \\\\&=& \cfrac{33}{81} \\\\&=& \cfrac{11}{27} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(キ)\cfrac{11}{27}

となります。

マスマスターの思考回路

次に条件付き確率を求めます。
まず、点Pのx座標が2以上になるためには、Aが少なくとも2回発生しなければなりません。
なので、Aが2回発生する事を保証した状況で、あとの2回で点Pのy座標が0である場合を考えましょう。

点Pのy座標が0であるということはBとCが同じ回数ずつ発生するということですので、残された2回でBとCがそれぞれ0回または1回発生する場合を考えれば良いでしょう。

Aが2回、BとCがそれぞれ1回ずつ発生する確率は、同じものを含む順列を利用し、

(7)   \begin{eqnarray*}\cfrac{4!}{2!1!1!} \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 &=& \cfrac{12}{3^4}\end{eqnarray*}

Aが4回、BとCがそれぞれ0回ずつ発生する確率は、

(8)   \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{1}{3}\right)^4 &=& \cfrac{1}{3^4}\end{eqnarray*}

(キ)の結果と(7)式(8)式 より、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{\cfrac{12}{3^4} + \cfrac{1}{3^4}}{\cfrac{11}{27}} &=& \cfrac{\cfrac{13}{3^4} }{\cfrac{11}{3^3}} \\\\&=& \cfrac{13}{33} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(ク)\cfrac{13}{33}

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(4)

マスマスターの思考回路

n-1回目までにAが1回だけ発生している状況で、n回目にAが発生する確率を求めればよいですね。

    \begin{eqnarray*}{}_{n-1} \mathrm{C} _1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 \left(\cfrac{2}{3}\right)^{(n-1)-1}\cdot \cfrac{1}{3} &=& \cfrac{(n-1)\cdot 2^{n-2}}{3^{n-1}} \cdot \cfrac{1}{3}\\\\&=& \cfrac{(n-1)\cdot 2^{n}2^{-2}}{3^{n}} \\\\&=& \cfrac{n-1}{4}\left(\cfrac{2}{3}\right)^n \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(ケ)\cfrac{n-1}{4}\left(\cfrac{2}{3}\right)^n

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(5)

マスマスターの思考回路

k回目にはじめてx=2となり、(k+1)回目にAが発生しなければ、点Pが直線x=2上の格子点を2つ以上通ることになります。

(k+2)回目からは何の目が出ても構わないので、考慮する必要はありません。
ここでいうkはk=2, 3, \cdots , n-1の場合が考えられますので、各場合の確率の和が求める確率となります。

k回目にはじめてx=2となる確率は(ケ)の結果を利用しましょう。

求める確率は、

    \begin{eqnarray*}\sum_{k=2}^{n-1} \cfrac{k-1}{4}\left(\cfrac{2}{3}\right)^k \cdot \cfrac{2}{3} &=& \cfrac{1}{6}\sum_{k=2}^{n-1} (k-1)\left(\cfrac{2}{3}\right)^k \\\\\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

上式は(等差)×(等比)型の数列の和ですので、上式を適当な文字Xとおき、XとXに等比数列の公比をかけた式との差をとって計算を行いましょう。

    \begin{eqnarray*}X &=& \cfrac{1}{6}\sum_{k=2}^{n-1} (k-1)\left(\cfrac{2}{3}\right)^k\end{eqnarray*}

とおくと、

(9)   \begin{eqnarray*}X &=& \cfrac{1}{6}\left[ 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^3 + \cdots + (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-1} \right] \\\\\end{eqnarray*}

(10)   \begin{eqnarray*}\cfrac{2}{3} X &=& \cfrac{1}{6}\left[ 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^3 + \cdots + (n-3) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-1} + (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n} \right] \\\\\end{eqnarray*}

(9) - (10)より、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{1}{3} X &=& \cfrac{1}{6}\left[ 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^2 + 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^3 + \cdots + 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-1} - (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\X &=& \cfrac{1}{2}\left[ \cfrac{\cfrac{4}{9}\left\{1- \left(\cfrac{2}{3}\right)^{(n-1)-2+1} \right\} }{1 -\cfrac{2}{3} } - (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\&=& \cfrac{1}{2}\left[ \cfrac{ 4\left\{1- \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-2} \right\} }{9 -6 } - (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\&=& \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} - \cfrac{4}{3}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-2} - (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\&=& \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} - \cfrac{4}{3}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\cfrac{9}{4} - (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\&=& \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} - 3\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n} - (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\&=& \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} - (n+1) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\\\&=& \cfrac{2}{3} - \cfrac{n+1}{2}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(コ)\cfrac{2}{3} - \cfrac{n+1}{2}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}

となります。

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