学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【基礎】方程式・式と証明のまとめ

ここでは数学2の「方程式・式と証明」についてまとめています。

数学1よりも高度な計算を学ぶのみならず、複素数という新しい概念も登場します。
計算の難易度が大きく上がりますので、実際に自分の手を動かして計算力を高めていきましょう。

1節　式の計算

整式の乗法

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三乗の展開・因数分解

展開・因数分解は計算の基本になります。

二乗の展開・因数分解と比較すると、三乗のそれは使用頻度は減りますが、知識として必ず身につけておくようにしましょう。

三乗の展開公式

    \begin{eqnarray*} (x\pm y)^3 &=& x^3 \pm 3 x^2 y \mp 3 x y^2 \pm y^3 \\\\ \end{eqnarray*}

三乗の因数分解公式

    \begin{eqnarray*} x^3 \pm y^3 &=& (x\pm y)(x^2 \mp xy \pm y^2) \\\\ \end{eqnarray*}

【三乗】3乗の展開・因数分解の公式

二項定理

    \begin{eqnarray*} && (x + y)^n \\\\ &=& {}_n \mathrm{C} _{0} ~x^{n} y^{0} + {}_n \mathrm{C} _{1} ~x^{n-1} y^{1} + \cdots + {}_n \mathrm{C} _{r} ~x^{n-r} y^{r} + \cdots + \\\\ &&{}_n \mathrm{C} _{n-1} ~x^{1} y^{n-1} + {}_n \mathrm{C} _{n} ~x^{0} y^{n} \end{eqnarray*}

(x + y)^2 や (x + y)^3 だけでなく一般の n 乗の展開、つまり (x + y)^n を計算するための定理が二項定理になります。

展開結果の係数は組み合わせを用いて説明できるのが興味深いところです。

【公式】二項定理について

整式の除法

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分数式

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2節　複素数と方程式

複素数

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2次方程式

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因数定理

多項式f(x)が(x-a)を因数に持つことの必要十分条件は、f(a)=0である。

因数定理は高次方程式（一般に三次以上の方程式のことをいう）を解くために欠かすことのできない、とても重要な定理です。

一次方程式は「x= 〜 」の形に等式変形することによって、
二次方程式は解の公式を使用することによって、機械的に解くことができますが、
三次以上の方程式については機械的に解くことができません。

機械的にではないのですが、因数定理を用いると三次以上の方程式が解けるようになります。

【高次方程式】因数定理について

高次方程式

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3節　式と証明

等式の証明

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不等式の証明

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3次方程式の解と係数の関係

三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の解がx=\alpha,~\beta,~\gammaであるとき、

    \begin{eqnarray*} \alpha + \beta + \gamma &=& -\cfrac{b}{a} \\\\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &=& \cfrac{c}{a} \\\\ \alpha\beta\gamma &=& -\cfrac{d}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つ。

二次方程式の解と係数の関係は知らなくても（使わなくても）何とか対処できますが、三次方程式の解と係数の関係は、知っていないと対処できないことが多くなるかと思います。

式の形が複雑で覚えにくいため、導出の過程を覚えておくことをおすすめします。

【公式】三次方程式の解と係数の関係を導出するよ

方程式・式と証明のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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方程式・式と証明

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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