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公式

【計算】三乗の展開・因数分解の公式

三乗の展開・因数分解の公式

展開・因数分解は計算の基本になります。

二乗の展開・因数分解と比較すると、三乗のそれは使用頻度は減りますが、知識として必ず身につけておくようにしましょう。

三乗の展開公式

    \begin{eqnarray*} (x\pm y)^3 &=& x^3 \pm 3 x^2 y \mp 3 x y^2 \pm y^3 \\\\ \end{eqnarray*}

三乗の展開公式の証明

    \begin{eqnarray*}(x + y)^3 &=& (x + y) (x + y)^2 \\\\&=& (x + y) (x^2 +2xy + y^2) \\\\&=& x^3 +2x^2y + xy^2 + x^2 y +2xy^2 + y^3 \\\\&=& x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3 \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} (x + y)^3 &=& x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

上式のy-yに置き換えると、

    \begin{eqnarray*}(x + (-y))^3 &=& x^3 + 3 x^2 (-y) + 3 x (-y)^2 + (-y)^3 \\\\(x - y)^3 &=& x^3 - 3 x^2 y + 3 x y^2 -y^3 \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} (x - y)^3 &=& x^3 - 3 x^2 y + 3 x y^2 -y^3 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} (x\pm y)^3 &=& x^3 \pm 3 x^2 y \mp 3 x y^2 \pm y^3 \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

三乗の因数分解公式

    \begin{eqnarray*} x^3 \pm y^3 &=& (x\pm y)(x^2 \mp xy \pm y^2) \\\\ \end{eqnarray*}

三乗の因数分解公式の証明

三乗の展開公式より、

    \begin{eqnarray*}(x + y)^3 &=& x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3 \\\\\end{eqnarray*}

これをx^3 + y^3について解くと、

    \begin{eqnarray*}x^3 + y^3 &=& (x + y)^3 -3 x^2 y - 3 x y^2 \\\\&=& (x + y)^3 -3xy (x + y) \\\\\end{eqnarray*}

ここで、x+y=Aとおくと、

    \begin{eqnarray*}x^3 + y^3 &=& A^3 -3xyA \\\\&=& A(A^2 -3xy) \\\\&=& (x+y)\{(x+y)^2 -3xy\} \\\\&=& (x+y)(x^2+2xy+y^2 -3xy) \\\\&=& (x+y)(x^2-xy+y^2) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} x^3 + y^3 &=& (x+y)(x^2-xy+y^2) \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

上式のy-yに置き換えると、

    \begin{eqnarray*}x^3 + (-y)^3 &=& \{x+(-y)\}\{x^2-x(-y)+(-y)^2\} \\\\x^3 -y^3 &=& (x-y)(x^2+xy+y^2) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} x^3 -y^3 &=& (x-y)(x^2+xy+y^2) \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} x^3 \pm y^3 &=& (x\pm y)(x^2 \mp xy \pm y^2) \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【基礎】方程式・式と証明のまとめ

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