【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する
- 命題
基礎知識
公式
【三乗】3乗の展開・因数分解の公式
展開・因数分解は計算の基本になります。
二乗の展開・因数分解と比較すると、三乗のそれは使用頻度は減りますが、知識として必ず身につけておくようにしましょう。
三乗の展開公式
$$\begin{array}{rcl}
(x\pm y)^3 &=& x^3 \pm 3 x^2 y \mp 3 x y^2 \pm y^3 \\\\
\end{array}$$
三乗の展開公式の証明
$(x + y)^3 \\$
$= (x + y) (x + y)^2 \\$
$=(x + y) (x^2 +2xy + y^2) \\$
$= x^3 +2x^2y + xy^2 + x^2 y +2xy^2 + y^3 \\$
$= x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3$
よって、
$$\begin{array}{rcl}
(x + y)^3 &=& x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3
\end{array}$$
が成り立ちます。
上式の$y$を$-y$に置き換えると、
$(x + (-y))^3 = x^3 + 3 x^2 (-y) + 3 x (-y)^2 + (-y)^3 \\$
$(x – y)^3 = x^3 – 3 x^2 y + 3 x y^2 -y^3$
よって、
$$\begin{array}{rcl}
(x – y)^3 &=& x^3 – 3 x^2 y + 3 x y^2 -y^3
\end{array}$$
が成り立ちます。
以上により、
$$\begin{array}{rcl}
(x\pm y)^3 &=& x^3 \pm 3 x^2 y \mp 3 x y^2 \pm y^3
\end{array}$$
が証明されました。
三乗の因数分解公式
$$\begin{array}{rcl}
x^3 \pm y^3 &=& (x\pm y)(x^2 \mp xy \pm y^2)
\end{array}$$
三乗の因数分解公式の証明
三乗の展開公式より、
$$\begin{array}{rcl} (x + y)^3 &=& x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3 \end{array}$$これを$x^3 + y^3$について解くと、
$$\begin{array}{rcl} x^3 + y^3 &=& (x + y)^3 -3 x^2 y – 3 x y^2 \\\\ &=& (x + y)^3 -3xy (x + y) \end{array}$$ここで、$x+y=A$とおくと、
$x^3 + y^3 \\$
$= A^3 -3xyA \\$
$= A(A^2 -3xy) \\$
$= (x+y)\{(x+y)^2 -3xy\} \\$
$= (x+y)(x^2+2xy+y^2 -3xy) \\$
$= (x+y)(x^2-xy+y^2)$
よって、
$$\begin{array}{rcl}
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)
\end{array}$$
が成り立ちます。
上式の$y$を$-y$に置き換えると、
$x^3 + (-y)^3 = \{x+(-y)\}\{x^2-x(-y)+(-y)^2\} \\$
$x^3 -y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
よって、
$$\begin{array}{rcl}
x^3 – y^3 &=& (x-y)(x^2+xy+y^2)
\end{array}$$
が成り立ちます。
以上により、
$$\begin{array}{rcl}
x^3 \pm y^3 &=& (x\pm y)(x^2 \mp xy \pm y^2)
\end{array}$$
が証明されました。
【基礎】方程式・式と証明のまとめ
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プロフィール
-このサイトの記事を書いている人-
某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。
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