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公式

【公式】三次方程式の解と係数の関係を導出するよ

三次方程式の解と係数の関係

今回は三次方程式の解と係数の関係について解説します。

二次方程式の解と係数の関係は知らなくても(使わなくても)何とか対処できますが、三次方程式の解と係数の関係は、知っていないと対処できないことが多くなるかと思います。

それは、二次方程式は解の公式を用いて機械的に解を求められる一方、三次方程式については因数定理を利用して解を「探す」ことになるからです。


解を探したとしても見つかる保証はありませんので、対処不能となる可能性があるということになります。

二次方程式の解と係数の関係ほど使う頻度は多くないですが、ぜひ身につけておきましょう。

三次方程式の解と係数の関係

三次方程式の解と係数の関係とは次のことをいいます。

三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の解がx=\alpha,~\beta,~\gammaであるとき、

    \begin{eqnarray*} \alpha + \beta + \gamma &=& -\cfrac{b}{a} \\\\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &=& \cfrac{c}{a} \\\\ \alpha\beta\gamma &=& -\cfrac{d}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つ。

証明

二次方程式の解と係数の関係の証明と同様の方法で導くことができます。

三次方程式

(1)   \begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d=0 \\\\ \end{eqnarray*}

を考えます。

(1)式の解を\alpha,~\beta,~\gammaとすると、ax^3+bx^2+cx+d=0は、次のように因数分解することができます。

(2)   \begin{eqnarray*}a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = 0 \\\\\end{eqnarray*}

(2)式をxについて降べきの順に整理すると、

    \begin{eqnarray*}a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) &=& 0 \\\\a(x^2 -\beta x -\alpha x +\alpha\beta)(x-\gamma) &=& 0\\\\a(x^2 - (\alpha + \beta)x +\alpha\beta)(x-\gamma) &=& 0\\\\a(x^3-\gamma x^2 - (\alpha + \beta)x^2 +(\alpha + \beta)\gamma x +\alpha\beta x -\alpha\beta\gamma) &=& 0\\\\a[x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + \{ (\alpha + \beta)\gamma +\alpha\beta \}x -\alpha\beta\gamma ] &=& 0\\\\a[x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x -\alpha\beta\gamma ] &=& 0\\\\\end{eqnarray*}

(3)   \begin{eqnarray*} ax^3 - a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x -a\alpha\beta\gamma &=& 0\\\\ \end{eqnarray*}

となります。

(1)式と(3)式は同じものでなければならない(つまり係数が同じでなければならない)ので、各項の係数を比較すると、

    \begin{eqnarray*}- a(\alpha + \beta + \gamma) &=& b \\\\a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) &=& c \\\\-a\alpha\beta\gamma &=& d \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ち、これを整理すると、

    \begin{eqnarray*} \alpha + \beta + \gamma &=& -\cfrac{b}{a} \\\\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &=& \cfrac{c}{a} \\\\ \alpha\beta\gamma &=& -\cfrac{d}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

であることが導かれます。

【基礎】方程式・式と証明のまとめ

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