解法

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(1)

さいころを一回投げて出た目について、

1または2である事象をA（確率は $\frac{1}{3}$ ）
3または4である事象をB（確率は $\frac{1}{3}$ ）
5または6である事象をC（確率は $\frac{1}{3}$ ）

とします。

BとCがそれぞれ0回発生することは、2回ともAが発生することと同じで、その確率は、

$$\begin{align} \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 &=& \cfrac{1}{9} \end{align}$$

BとCがそれぞれ1回発生する確率は、

$$\begin{align} 2 \cdot \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{1}{3} &=& \cfrac{2}{9} \end{align}$$

(1) + (2) より、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{9} + \cfrac{2}{9} &=& \cfrac{3}{9} \\\\ &=& \cfrac{1}{3} \end{array}$$

よって、

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(2)

Bが1回、Cが2回発生する確率は、反復試行の確率により、

$$\begin{array}{rcl} {}_3 \mathrm{C} _1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 &=& \cfrac{3}{3^3} \end{array}$$ $$\begin{align} = \cfrac{1}{9} \end{align}$$

Bが0回、Cが3回発生する確率は、

$$\begin{align} \left(\cfrac{1}{3}\right)^3 &=& \cfrac{1}{27} \end{align}$$

余事象を考えていることと、(3)式(4)式 より、

$$\begin{array}{rcl} 1 – \left( \cfrac{1}{9} + \cfrac{1}{27} \right) &=& \cfrac{27-3-1}{27} \\\\ &=& \cfrac{23}{27} \end{array}$$

よって、

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(3)

Bが0回発生する確率は、

$$\begin{align} \left(\cfrac{2}{3}\right)^4 &=& \cfrac{16}{81} \end{align}$$

Bが1回発生する確率は、

$$\begin{array}{rcl} {}_4 \mathrm{C} _1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1\left(\cfrac{2}{3}\right)^3 &=& \cfrac{4\cdot 2^3}{3^4} \\\\ &=& \cfrac{32}{81} \end{array}$$ $$\begin{align} &=& \cfrac{32}{81} \end{align}$$

余事象を考えていることと、(5)式(6)式 より、

$$\begin{array}{rcl} 1 – \left( \cfrac{16}{81}+ \cfrac{32}{81} \right) &=& \cfrac{81 – 16 – 32}{81} \\\\ &=& \cfrac{33}{81} \\\\ &=& \cfrac{11}{27} \end{array}$$

よって、

となります。

Aが2回、BとCがそれぞれ1回ずつ発生する確率は、同じものを含む順列を利用し、

$$\begin{align} \cfrac{4!}{2!1!1!} \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 &=& \cfrac{12}{3^4} \end{align}$$

Aが4回、BとCがそれぞれ0回ずつ発生する確率は、

$$\begin{align} \left(\cfrac{1}{3}\right)^4 &=& \cfrac{1}{3^4} \end{align}$$

（キ）の結果と(7)式(8)式 より、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{\cfrac{12}{3^4} + \cfrac{1}{3^4}}{\cfrac{11}{27}} &=& \cfrac{\cfrac{13}{3^4} }{\cfrac{11}{3^3}} \\ &=& \cfrac{13}{33} \end{array}$$

よって、

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(4)

${}_{n-1} \mathrm{C} _1 \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 \left(\cfrac{2}{3}\right)^{(n-1)-1}\cdot \cfrac{1}{3} \\$
$= \cfrac{(n-1)\cdot 2^{n-2}}{3^{n-1}} \cdot \cfrac{1}{3}\\$
$= \cfrac{(n-1)\cdot 2^{n}2^{-2}}{3^{n}} \\$
$= \cfrac{n-1}{4}\left(\cfrac{2}{3}\right)^n$

よって、

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 2(5)

求める確率は、

$\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1} \cfrac{k-1}{4}\left(\cfrac{2}{3}\right)^k \cdot \cfrac{2}{3} = \cfrac{1}{6}\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1} (k-1)\left(\cfrac{2}{3}\right)^k$

となります。

$$\begin{array}{rcl} X &=& \cfrac{1}{6}\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1} (k-1)\left(\cfrac{2}{3}\right)^k \end{array}$$

とおくと、

$X = \cfrac{1}{6}\left[ 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^3 + \cdots + (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-1} \right]$

$\cfrac{2}{3} X = \cfrac{1}{6}\left[ 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^3 + \cdots + (n-3) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-1} + (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n} \right]$

上の二式を引き算すると、

$\cfrac{1}{3} X = \cfrac{1}{6}\left[ 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^2 + 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^3 + \cdots + 1 \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-1} – (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$X = \cfrac{1}{2}\left[ \cfrac{\cfrac{4}{9}\{1- \left(\cfrac{2}{3}\right)^{(n-1)-2+1} \} }{1 -\cfrac{2}{3} } – (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$= \cfrac{1}{2}\left[ \cfrac{ 4\{1- \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-2} \} }{9 -6 } – (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$= \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} – \cfrac{4}{3}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n-2} – (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$= \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} – \cfrac{4}{3}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\cfrac{9}{4} – (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$= \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} – 3\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n} – (n-2) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$= \cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{4}{3} – (n+1) \cdot \left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}\right] \\$
$= \cfrac{2}{3} – \cfrac{n+1}{2}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n}$

よって、

となります。