解法

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 1
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 1(1)

$$\begin{align} y=x+\cfrac{1}{x} \end{align}$$

(1)式を二乗すると、

$$\begin{align} y^2&=&x^2+2+\cfrac{1}{x^2} \end{align}$$ $$\begin{array}{rcl} x^4-2x^3+3x^2-2x+1&=&0 \end{array}$$

を$x^2\neq0$で割ると、

$$\begin{array}{rcl} x^2-2x+3-\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{x^2}&=&0 \\\\ x^2+\cfrac{1}{x^2} -2x-\cfrac{2}{x}+3&=&0 \end{array}$$ $$\begin{align} x^2+\cfrac{1}{x^2} -2\left(x+\cfrac{1}{x}\right)+3&=&0 \end{align}$$

(2)式より、

$$\begin{array}{rcl} x^2+\cfrac{1}{x^2}&=&y^2-2 \end{array}$$

であり、これと(1)式を(3)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} (y^2-2) -2y+3&=&0 \\\\ y^2 -2y+1=0 \end{array}$$

よって、

となります。

$$\begin{array}{rcl} y^2 -2y+1&=&0 \\\\ (y-1)^2 &=& 0\\\\ y&=&1 \end{array}$$

であり、これを(1)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} 1&=&x+\cfrac{1}{x} \\\\ x&=&x^2+1 \\\\ x^2-x+1&=&0 \\\\ x&=& \cfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{array}$$

よって、

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 1(2)

$$\begin{array}{rcl} x^3+y^3+xy-3&=&0 \\\\ (x+y)^3-3xy(x+y)+xy-3&=&0 \end{array}$$

これに、$s=x+y, ~t=xy$を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} s^3-3ts+t-3&=&0 \\\\ t(1-3s)&=&3-s^3 \end{array}$$ $$\begin{align} t(3s-1)&=&s^3-3 \end{align}$$

$s=\cfrac{1}{3}$とすると、(4)式について、
左辺 = $0$
右辺 = $\cfrac{1}{27}-3\neq0$

よって、$s\neq\cfrac{1}{3}$なので、

$$\begin{align} t&=&\cfrac{s^3-3}{3s-1} \\ \end{align}$$

となります。

$x, ~y$は$u^2-su+t=0$の実数解であるので、

$$\begin{array}{rcl} s^2-4t \geqq 0 \end{array}$$

であり、これに(5)式を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} s^2-4 \cdot \cfrac{s^3-3}{3s-1} \geqq 0 \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} s^2(3s-1)^2-4(3s-1)(s^3-3) \geqq 0\\\\ (3s-1)\{s^2(3s-1)-4(s^3-3)\} \geqq 0\\\\ (3s-1)(3s^3-s^2-4s^3+12) \geqq 0\\\\ (3s-1)(-s^3-s^2+12) \geqq 0\\\\ (3s-1)(s^3+s^2-12) \leqq 0 \end{array}$$ $$\begin{align} (3s-1)(s-2)(s^2+3s+6) \leqq 0 \end{align}$$ $$\begin{array}{rcl} s^2+3s+6　&=& \left(s+\cfrac{3}{2}\right)^2-\cfrac{9}{4} + 6\\\\ &=& \left(s+\cfrac{3}{2}\right)^2+\cfrac{13}{4} > 0 \end{array}$$

であり、(6)式を$s^2+3s+6$で割ると、

$$\begin{array}{rcl} (3s-1)(s-2) \leqq 0\\\\ \cfrac{1}{3} \leqq s \leqq 2 \end{array}$$

$s\neq\cfrac{1}{3}$であるから、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{3} < s \leqq 2 \end{array}$$

よって、

となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 1(3)

$$\begin{align} (x-1)(x^{3n}-1) &=& (x-1)(x^n-1)(x^{2n}+x^n+1) \end{align}$$

また、

$$\begin{align} (x^3-1)(x^{n}-1) &=& (x-1)(x^2+x+1)(x^{n}-1) \end{align}$$

であり、(7)式が(8)式で割り切れるかどうかを調べることは、各式の共通因数である$(x-1)(x^{n}-1)$を除いた結果である、下の(9)式が(10)式で割り切れるかどうかを調べることと同値になります。

$$\begin{align} x^{2n}+x^n+1 \end{align}$$ $$\begin{align} x^2+x+1 \end{align}$$

$x^2+x+1=0$の解の一つを$\omega$とすると、$\omega^2+\omega+1=0, ~\omega^3=1$が成り立ちます。

また、$\omega$の共役複素数 $\overline{\omega}$ も$x^2+x+1=0$の解なので、$\overline{\omega}^2+\overline{\omega}+1=0$が成り立ちます。

$x^2+x+1$を$f(x)$とおくと、

$$\begin{array}{rcl} f(\omega) &=& 0 \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} f(\overline{\omega}) &=& 0 \end{array}$$

であるから、因数定理により$f(x)$は$(x-\omega)$と$(x-\overline{\omega})$を因数に持ちます。（それ以外には因数は持ちません。）

ここで、$n=3m+1$($m$は$0$以上の整数)、$x^{2n}+x^n+1$を$g(x)$とおくと、

$$\begin{array}{rcl} g(x) &=& x^{2n}+x^n+1 \\\\ &=& x^{2(3m+1)}+x^{3m+1}+1 \\\\ &=& x^{6m+2}+x^{3m+1}+1 \\\\ &=& x^{6m}\cdot x^2+x^{3m}\cdot x+1 \\\\ &=& (x^3)^{2m}\cdot x^2+(x^3)^{m}\cdot x+1 \end{array}$$

であり、

$$\begin{array}{rcl} g(\omega) &=& (\omega^3)^{2m}\cdot \omega^2+(\omega^3)^{m}\cdot \omega+1 \\\\ &=& \omega^2+\omega+1 \\\\ &=& 0 \end{array}$$

よって、因数定理により$g(x)$は$x-\omega$を因数に持ちます。

また、

$$\begin{array}{rcl} g(\overline{\omega}) &=& (\overline{\omega}^3)^{2m}\cdot \overline{\omega}^2+(\overline{\omega}^3)^{m}\cdot \overline{\omega}+1 \\\\ &=& \overline{\omega}^2+\overline{\omega}+1 \\\\ &=& 0 \end{array}$$

よって、因数定理により$g(x)$は$x-\overline{\omega}$を因数に持ちます。