解法

今回は東京大学の入試問題を扱います。

東大の問題と聞くと身構えてしまうかもしれませんが、国立大学の問題は教科書に載っている知識のみで解けるように作られています。
順序立てて進めていくことで解決していきましょう。

それでは問題を見てみます。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第1問

商の微分と三角関数の微分を用いて計算を行いましょう。

$$\begin{array}{rcl} f'(x) &=& \cfrac{\sin x – x\cos x}{\sin^{2} x} – \sin x \\\\ &=& \cfrac{\sin x – x\cos x – \sin^3 x}{\sin^2 x} \\\\ &=& \cfrac{\sin x (1 – \sin^2 x)- x\cos x}{\sin^2 x} \\\\ &=& \cfrac{\sin x (\cos^2 x)- x\cos x}{\sin^2 x} \\\\ &=& \cfrac{\cos x　(\sin x \cos x- x)}{\sin^2 x} \end{array}$$

上図から、三角形OABの面積 $<$ 扇型OABの面積となるので、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{r^2 \sin x}{2} < \cfrac{r^2 x}{2} \end{array}$$

つまり、

$$\begin{array}{rcl} \sin x < x \end{array}$$

が成り立ちます。

また、$0 < x < \pi $ のとき、$-1 < \cos x < 1$なので、

$$\begin{array}{rcl} \sin x \cos x < x \end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl} \sin x \cos x- x < 0 \end{array}$$

となります。

以上から増減表は次のようになります。

$$\begin{array}{rcl} \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x&0&\cdots&\frac{\pi}{2}&\cdots&\pi\\\\ \hline f'(x)&&-&0&+&\\\\ \hline f(x)&&\searrow&\frac{\pi}{2}&\nearrow&\\\\ \hline \end{array} \end{array}$$

また、極限は

$\displaystyle　\lim_{x \to +0} \frac{x}{\sin x} + \cos x $
$= 1 + 1$
$= 2$

$\displaystyle　\lim_{x \to \pi – 0} \frac{x}{\sin x} + \cos x $
$= +\infty – 1$
$= +\infty$

となります。