高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

解法

【東大の入試問題を解説!】2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第1問

東大の入試問題を解説

今回は東京大学の入試問題を扱います。

東大の問題と聞くと身構えてしまうかもしれませんが、国立大学の問題は教科書に載っている知識のみで解けるように作られています。
順序立てて進めていくことで解決していきましょう。

それでは問題を見てみます。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第1問

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第1問

マスマスターの思考回路

「増減表をつくり」とあるので他のことは考えず、とりあえず微分しましょう。

商の微分三角関数の微分を用いて計算を行いましょう。

    \begin{eqnarray*}f'(x) &=& \cfrac{\sin x - x\cos x}{\sin^{2} x} - \sin x \\\\&=& \cfrac{\sin x - x\cos x - \sin^3 x}{\sin^2 x} \\\\&=& \cfrac{\sin x (1 - \sin^2 x)- x\cos x}{\sin^2 x} \\\\&=& \cfrac{\sin x (\cos^2 x)- x\cos x}{\sin^2 x} \\\\&=& \cfrac{\cos x (\sin x \cos x- x)}{\sin^2 x} \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

0 < x < \pi における \cos x の符号は明確ですが、 \sin x \cos x- x の符号は簡単にはわかりません。次の図を利用しましょう。

sin xと xの大小関係

上図から、三角形OABの面積 < 扇型OABの面積となるので、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{r^2 \sin x}{2} < \cfrac{r^2 x}{2}  \end{eqnarray*}

つまり、

    \begin{eqnarray*} \sin x < x \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、0 < x < \pi のとき、-1 < \cos x < 1なので、

    \begin{eqnarray*} \sin x \cos x < x \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin x \cos x- x < 0 \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

0 < x < \pi における \sin xx の大小関係が \sin x < x であることを知っていると、この解法を思いつくことができます。
\sin x < x であり、 -1 < \cos x < 1 であることから \sin x \cos x- x < 0 が成立することを事前に確認した上で、この解法を選択しています。
\sin x < x を証明なしで使うことははばかられるので、図を添えて証明しています。
上図は三角関数の極限の証明に使用される図なので、覚えておきましょう。

以上から増減表は次のようになります。

    \begin{eqnarray*}\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline x&0&\cdots&\frac{\pi}{2}&\cdots&\pi\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f(x)&&\searrow&\frac{\pi}{2}&\nearrow&\\\hline\end{array}\end{eqnarray*}

また、極限は

    \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{x}{\sin x} + \cos x &=& 1 + 1 \\\\&=& 2\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x \to \pi - 0} \frac{x}{\sin x} + \cos x &=& +\infty - 1 \\\\&=& +\infty\end{eqnarray*}

となります。

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-解法
-,