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公式

【微分】対数関数の微分の公式の証明

対数関数の微分の公式

ここでは、対数関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

対数関数の微分の公式

    \begin{eqnarray*} (\log_a x)' &=& \cfrac{1}{x\log a} \\\\ \end{eqnarray*}

特に、底aが自然対数の底eのとき、

    \begin{eqnarray*} (\log x)' &=& \cfrac{1}{x} \\\\ \end{eqnarray*}

対数関数の微分の公式の証明

対数関数の基礎計算公式と、指数法則を利用して証明します。

    \begin{eqnarray*}(\log_a x)' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\log_a (x+h) -\log_ax}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\log_a (1+\frac{h}{x})}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \log_a (1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}} \\\\\end{eqnarray*}

ここで、\cfrac{h}{x} = jとおくと、h \to 0のとき、j \to 0なので、

    \begin{eqnarray*}&=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \log_a (1+j)^{\frac{1}{xj}} \\\\&=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \log_a \{ (1+j)^{\frac{1}{j}} \}^{\frac{1}{x} \\\\\end{eqnarray*}

ここで、自然対数の底eの定義式

    \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} &=& e \\\\\end{eqnarray*}

より、

    \begin{eqnarray*}(\log_a x)' &=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \log_a \{ (1+j)^{\frac{1}{j}} \}^{\frac{1}{x} \\\\&=& \log_a e^{\frac{1}{x}} \\\\&=& \frac{1}{x} \log_a e \\\\&=& \cfrac{1}{x\log a} \\\\\end{eqnarray*}

上式にa=eを代入すると、

    \begin{eqnarray*}(\log_e x)' &=& \cfrac{1}{x\log e} \\\\(\log x)' &=& \cfrac{1}{x} \\\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} (\log_a x)' &=& \cfrac{1}{x\log a} \\\\ \end{eqnarray*}

特に、底aが自然対数の底eのとき、

    \begin{eqnarray*} (\log x)' &=& \cfrac{1}{x} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

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