公式

ここでは、対数関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

対数関数の微分の公式

対数関数の微分の公式の証明

対数関数の基礎計算公式と、指数法則を利用して証明します。

$$\begin{array}{rcl} (\log_a x)’ &=& \displaystyle　\lim_{h \to 0} \cfrac{\log_a (x+h) -\log_ax}{h} \\\\ &=& \displaystyle　\lim_{h \to 0} \cfrac{\log_a (1+\frac{h}{x})}{h} \\\\ &=& \displaystyle　\lim_{h \to 0} \log_a (1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}} \end{array}$$

ここで、$\cfrac{h}{x} = j$とおくと、$h \to 0$のとき、$j \to 0$なので、

$$\begin{array}{rcl} &=& \displaystyle　\lim_{j \to 0} \log_a (1+j)^{\frac{1}{xj}} \\\\ &=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \log_a \left( (1+j)^{\frac{1}{j}} \right)^{\frac{1}{x}} \end{array}$$

ここで、自然対数の底$e$の定義式

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle　\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} &=& e \end{array}$$

より、

$$\begin{array}{rcl} \left( \log_a x \right)’ &=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \log_a \left( (1+j)^{\frac{1}{j}} \right)^{\frac{1}{x}}\\\\ &=& \log_a e^{\frac{1}{x}} \\\\ &=& \frac{1}{x} \log_a e \\\\ &=& \cfrac{1}{x\log a} \end{array}$$

上式に$a=e$を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} (\log_e x)’ &=& \cfrac{1}{x\log e} \\\\ (\log x)’ &=& \cfrac{1}{x} \end{array}$$

以上により、

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ