【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する
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【指数関数】指数法則について説明するよ
指数法則は指数関数だけでなく、単元を問わず必要とされる計算技術になります。
法則の内容は難しいものではないのですが、実際に計算を行うとなると慣れるまでは非常に難しく感じられると思います。
まずは、法則の内容をしっかり理解しておきましょう。
指数法則1
$$\begin{array}{rcl}
a^m a^n = a^{m+n} \\\\
\end{array}$$
たとえば、$m=5, n=3$ の場合を考えてみましょう。
$$\begin{array}{rcl} a^5 a^3 &=& (aaaaa)(aaa) \\\\ &=& aaaaaaaa \\\\ &=& a^8 \\\\ &=& a^{5+3} \end{array}$$となります。これを一般化すると、
$$\begin{array}{rcl}
a^m a^n = a^{m+n}
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則2
$$\begin{array}{rcl}
\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\end{array}$$
たとえば、$m=5, n=3$ の場合を考えてみましょう。
$$\begin{array}{rcl} \cfrac{a^5}{a^3} &=& \cfrac{aaaaa}{aaa} \\\\ &=& aa \\\\ &=& a^2 \\\\ &=& a^{5-3} \end{array}$$となります。これを一般化すると、
$$\begin{array}{rcl}
\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則2の特別な場合
法則2を用いて、次の重要公式が導かれます。
0乗は1である
$$\begin{array}{rcl}
a^0 = 1
\end{array}$$
証明
$$\begin{array}{rcl} \cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \end{array}$$について、$m=n$とすると、
$$\begin{array}{rcl} \cfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} \\\\ 1 = a^0 \end{array}$$よって、
$$\begin{array}{rcl}
a^0 = 1
\end{array}$$
が成り立ちます。
マイナス乗は逆数である
$$\begin{array}{rcl}
a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}
\end{array}$$
証明
$$\begin{array}{rcl} \cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \end{array}$$について、$m=0$とすると、
$$\begin{array}{rcl} \cfrac{a^0}{a^n} &=& a^{0-n} \\\\ \cfrac{1}{a^n} &=& a^{-n} \end{array}$$よって、
$$\begin{array}{rcl}
a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則3
$$\begin{array}{rcl}
(a^m)^n &=& a^{mn}
\end{array}$$
たとえば、$m=2, n=3$ の場合を考えてみましょう。
$$\begin{array}{rcl} (a^2)^3 &=& (a^2)(a^2)(a^2) \\\\ &=& (aa)(aa)(aa) \\\\ &=& aaaaaa \\\\ &=& a^6 \\\\ &=& a^{2*3} \end{array}$$となります。これを一般化すると、
$$\begin{array}{rcl}
(a^m)^n &=& a^{mn}
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則4
$$\begin{array}{rcl}
(ab)^n &=& a^n b^n
\end{array}$$
たとえば、$n=3$ の場合を考えてみましょう。
$$\begin{array}{rcl} (ab)^3 &=& (ab)(ab)(ab) \\\\ &=& (aaa)(bbb) \\\\ &=& a^3 b^3 \end{array}$$となります。これを一般化すると、
$$\begin{array}{rcl}
(ab)^n &=& a^n b^n
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則5
$$\begin{array}{rcl}
\left(\cfrac{a}{b}\right)^n &=& \cfrac{a^n}{b^n}
\end{array}$$
たとえば、$n=3$ の場合を考えてみましょう。
$$\begin{array}{rcl} \left(\cfrac{a}{b}\right)^3 &=& \left(\cfrac{a}{b}\right)\left(\cfrac{a}{b}\right)\left(\cfrac{a}{b}\right) \\\\ &=& \left(\cfrac{aaa}{bbb}\right) \\\\ &=& \cfrac{a^3}{b^3} \end{array}$$となります。これを一般化すると、
$$\begin{array}{rcl}
\left(\cfrac{a}{b}\right)^n &=& \cfrac{a^n}{b^n}
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則6
$$\begin{array}{rcl}
a^\frac{1}{n} &=& \sqrt[n]{a}
\end{array}$$
$\sqrt[n]{a}$は$a$の$n$乗根と読み、$n$乗したら$a$になる数であるものとして定義されます。
$$\begin{array}{rcl} (a^m)^n &=& a^{mn} \end{array}$$について、$m=\cfrac{1}{n}$とすると、
$$\begin{array}{rcl} (a^\frac{1}{n})^n &=& a^{\frac{1}{n}n} \\\\ &=& a \end{array}$$であることから、$a^\frac{1}{n}$は$a$の$n$乗根となりますので、それを$\sqrt[n]{a}$と表すというルールになっています。
$a^\frac{1}{n} &=& \sqrt[n]{a}$について、$n=2$のとき、
$$\begin{array}{rcl} a^\frac{1}{2} &=& \sqrt[2]{a} \end{array}$$となりますが、$\sqrt[2]{a}$は二乗根（つまり平方根）ですので、$\sqrt{a}$と表します。
また、
$$\begin{array}{rcl} \sqrt[n]{a^n} &=& (a^\frac{1}{n})^n \\\\ &=& a^{\frac{1}{n}n} \\\\ &=& a^1 \\\\ &=& a \end{array}$$より、
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt[n]{a^n} &=& a
\end{array}$$
が成り立ちます。
指数法則のまとめ
いかがでしたか？
法則の内容自体はそれほど難しくありませんが、実際に計算するとなると慣れるまでは苦労を強いられるかと思います。
とにかく慣れが必要なので、計算練習を多く積んでおくと良いでしょう。
【基礎】指数関数・対数関数のまとめ
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プロフィール
-このサイトの記事を書いている人-
某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。
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