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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【指数関数】指数法則について説明するよ

指数法則

指数法則は指数関数だけでなく、単元を問わず必要とされる計算技術になります。
法則の内容は難しいものではないのですが、実際に計算を行うとなると慣れるまでは非常に難しく感じられると思います。

まずは、法則の内容をしっかり理解しておきましょう。

指数法則1

    \begin{eqnarray*} a^m a^n = a^{m+n} \\\\ \end{eqnarray*}

たとえば、m=5, n=3 の場合を考えてみましょう。

    \begin{eqnarray*}a^5 a^3 &=& (aaaaa)(aaa) \\\\&=& aaaaaaaa \\\\&=& a^8 \\\\&=& a^{5+3} \\\\\end{eqnarray*}

となります。これを一般化すると、

    \begin{eqnarray*} a^m a^n = a^{m+n} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則2

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\\\ \end{eqnarray*}

たとえば、m=5, n=3 の場合を考えてみましょう。

    \begin{eqnarray*}\cfrac{a^5}{a^3} &=& \cfrac{aaaaa}{aaa} \\\\&=& aa \\\\&=& a^2 \\\\&=& a^{5-3} \\\\\end{eqnarray*}

となります。これを一般化すると、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則2の特別な場合

法則2を用いて、次の重要公式が導かれます。

0乗は1である

    \begin{eqnarray*} a^0 = 1 \end{eqnarray*}

証明

    \begin{eqnarray*}\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\\\\end{eqnarray*}

について、m=nとすると、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} \\\\1 = a^0 \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} a^0 = 1 \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

マイナス乗は逆数である

    \begin{eqnarray*} a^{-n} = \cfrac{1}{a^n} \end{eqnarray*}

証明

    \begin{eqnarray*}\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\\\\end{eqnarray*}

について、m=0とすると、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{a^0}{a^n} &=& a^{0-n} \\\\\cfrac{1}{a^n} &=& a^{-n} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} a^{-n} = \cfrac{1}{a^n} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則3

    \begin{eqnarray*} (a^m)^n &=& a^{mn} \\\\ \end{eqnarray*}

たとえば、m=2, n=3 の場合を考えてみましょう。

    \begin{eqnarray*}(a^2)^3 &=& (a^2)(a^2)(a^2) \\\\&=& (aa)(aa)(aa) \\\\&=& aaaaaa \\\\&=& a^6 \\\\&=& a^{2*3} \\\\\end{eqnarray*}

となります。これを一般化すると、

    \begin{eqnarray*} (a^m)^n &=& a^{mn} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則4

    \begin{eqnarray*} (ab)^n &=& a^n b^n \\\\ \end{eqnarray*}

たとえば、n=3 の場合を考えてみましょう。

    \begin{eqnarray*}(ab)^3 &=& (ab)(ab)(ab) \\\\&=& (aaa)(bbb) \\\\&=& a^3 b^3 \\\\\end{eqnarray*}

となります。これを一般化すると、

    \begin{eqnarray*} (ab)^n &=& a^n b^n \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則5

    \begin{eqnarray*} \left(\cfrac{a}{b}\right)^n &=& \cfrac{a^n}{b^n} \\\\ \end{eqnarray*}

たとえば、n=3 の場合を考えてみましょう。

    \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{a}{b}\right)^3 &=& \left(\cfrac{a}{b}\right)\left(\cfrac{a}{b}\right)\left(\cfrac{a}{b}\right) \\\\&=& \left(\cfrac{aaa}{bbb}\right) \\\\&=& \cfrac{a^3}{b^3} \\\\\end{eqnarray*}

となります。これを一般化すると、

    \begin{eqnarray*} \left(\cfrac{a}{b}\right)^n &=& \cfrac{a^n}{b^n} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則6

    \begin{eqnarray*} a^\frac{1}{n} &=& \sqrt[n]{a} \\\\ \end{eqnarray*}

\sqrt[n]{a}an乗根と読み、n乗したらaになる数であるものとして定義されます。

    \begin{eqnarray*}(a^m)^n &=& a^{mn}\end{eqnarray*}

について、m=\cfrac{1}{n}とすると、

    \begin{eqnarray*}(a^\frac{1}{n})^n &=& a^{\frac{1}{n}n} \\\\&=& a\end{eqnarray*}

であることから、a^\frac{1}{n}an乗根となりますので、それを\sqrt[n]{a}と表すというルールになっています。

a^\frac{1}{n} &=& \sqrt[n]{a}について、n=2のとき、

    \begin{eqnarray*}a^\frac{1}{2} &=& \sqrt[2]{a} \\\\\end{eqnarray*}

となりますが、\sqrt[2]{a}は二乗根(つまり平方根)ですので、\sqrt{a}と表します。

また、

    \begin{eqnarray*}\sqrt[n]{a^n} &=& (a^\frac{1}{n})^n \\\\&=& a^{\frac{1}{n}n} \\\\&=& a^1 \\\\&=& a \\\\\end{eqnarray*}

より、

    \begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n} &=& a \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

指数法則のまとめ

いかがでしたか?
法則の内容自体はそれほど難しくありませんが、実際に計算するとなると慣れるまでは苦労を強いられるかと思います。

とにかく慣れが必要なので、計算練習を多く積んでおくと良いでしょう。

【基礎】指数関数・対数関数のまとめ

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