公式

【微分】指数関数の微分の公式の証明

ここでは、指数関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

指数関数の微分の公式

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x\log a \\\\ \end{eqnarray*}

特に、底aが自然対数の底eのとき、

    \begin{eqnarray*} (e^x)' &=& e^x \\\\ \end{eqnarray*}

指数関数の微分の公式の証明

指数法則と、自然対数を利用して証明します。

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{a^{x+h}-a^x}{h} \\\\&=& a^x \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{a^h-1}{h} \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、 a^h-1 = j おくと、h \to 0のとき、j \to 0となり、

    \begin{eqnarray*} a^h &=& 1 + j \\\\ \end{eqnarray*}

両辺の自然対数をとると、

    \begin{eqnarray*} h\log a &=& \log(1 + j) \\\\h &=& \cfrac{\log(1 + j)}{\log a} \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{j}{\cfrac{\log(1 + j)}{\log a}} \\\\&=& a^x \log a \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{j}{\log(1 + j)} \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、対数関数の極限値より、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\log (1+h)}{h} &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つので、

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x \log a \cfrac{1}{ \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{\log(1 + j)}{j}} \\\\&=& a^x \log a ~\cfrac{1}{1} \\\\&=& a^x \log a \end{eqnarray*}

上式にa=eを代入すると、

    \begin{eqnarray*} (e^x)' &=& e^x \log e \\\\&=& e^x\\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x\log a \\\\ \end{eqnarray*}

特に、底aが自然対数の底eのとき、

    \begin{eqnarray*} (e^x)' &=& e^x \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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