高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【微分】指数関数の微分の公式の証明

指数関数の微分の公式

ここでは、指数関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

指数関数の微分の公式

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x\log a \\\\ \end{eqnarray*}

特に、底aが自然対数の底eのとき、

    \begin{eqnarray*} (e^x)' &=& e^x \\\\ \end{eqnarray*}

指数関数の微分の公式の証明

指数法則と、自然対数を利用して証明します。

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{a^{x+h}-a^x}{h} \\\\&=& a^x \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{a^h-1}{h} \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、 a^h-1 = j おくと、h \to 0のとき、j \to 0となり、

    \begin{eqnarray*} a^h &=& 1 + j \\\\ \end{eqnarray*}

両辺の自然対数をとると、

    \begin{eqnarray*} h\log a &=& \log(1 + j) \\\\h &=& \cfrac{\log(1 + j)}{\log a} \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{j}{\cfrac{\log(1 + j)}{\log a}} \\\\&=& a^x \log a \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{j}{\log(1 + j)} \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、対数関数の極限値より、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\log (1+h)}{h} &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つので、

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x \log a \cfrac{1}{ \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{\log(1 + j)}{j}} \\\\&=& a^x \log a ~\cfrac{1}{1} \\\\&=& a^x \log a \end{eqnarray*}

上式にa=eを代入すると、

    \begin{eqnarray*} (e^x)' &=& e^x \log e \\\\&=& e^x\\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} (a^x)' &=& a^x\log a \\\\ \end{eqnarray*}

特に、底aが自然対数の底eのとき、

    \begin{eqnarray*} (e^x)' &=& e^x \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-公式
-,