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【極限】対数関数の極限値

【極限】対数関数の極限値


ここでは、下の有名な対数関数の極限値の証明を行います。

対数関数の極限値

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{\log (1+x)}{x} &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

対数関数の極限値の証明

自然対数の底eの定義式

    \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} &=& e \end{eqnarray*}

の両辺に対し、底をeとする対数をとると、

    \begin{eqnarray*} \log \displaystyle \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} &=& \log e \\\\   \displaystyle \lim_{h \to 0} \log(1+h)^{\frac{1}{h}} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

ここで、対数関数の真数の累乗は対数の係数であることから、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\log(1+h) &=& 1 \\\\  \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

hx に置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

【公式】覚えておくべき有名な極限値のまとめ

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