公式

【極限】対数関数の極限値


ここでは、下の有名な対数関数の極限値の証明を行います。

対数関数の極限値

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{\log (1+x)}{x} &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

対数関数の極限値の証明

自然対数の底eの定義式

    \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} &=& e \end{eqnarray*}

の両辺に対し、底をeとする対数をとると、

    \begin{eqnarray*} \log \displaystyle \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} &=& \log e \\\\   \displaystyle \lim_{h \to 0} \log(1+h)^{\frac{1}{h}} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

ここで、対数関数の真数の累乗は対数の係数であることから、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\log(1+h) &=& 1 \\\\  \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

hx に置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

【公式】覚えておくべき有名な極限値のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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