公式

【微分】合成関数の微分の公式の証明

ここでは、合成関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

合成関数の微分を用いることで、積分の重要計算である置換積分が扱えるようになりますので、まずは合成関数についての理解を深めましょう。

合成関数の微分の公式

y=f(u), ~u=g(x)で定義される関数y=f(g(x))について、

    \begin{eqnarray*} \left\{ f(g(x)) \right\}' &=& f'(g(x))g'(x) \\\\ \cfrac{dy}{dx} &=& \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} \end{eqnarray*}

【微分】微分の表記法 | dy/dx

合成関数の微分の公式の証明

    \begin{eqnarray*}\left\{ f(g(x)) \right\}' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f( g(x+h) ) - f( g(x) )}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f( g(x+h) ) - f( g(x) )}{g(x+h)-g(x)} \cdot \cfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f( g(x+h) ) - f( g(x) )}{g(x+h)-g(x)} \cdot g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

ここで、g(x+h)-g(x) = jとおくと、h \to 0のとき、j \to 0なので、

    \begin{eqnarray*}&=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{ f( g(x) + j ) - f( g(x) )}{j} \cdot g'(x) \\\\&=& f'(g(x)) g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x)) g'(x) \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

この式の左辺は、

    \begin{eqnarray*}\left\{ f(g(x)) \right\}' &=& \cfrac{dy}{dx}\end{eqnarray*}


であり右辺は、

    \begin{eqnarray*}f'(g(x)) g'(x) &=& f'(u) g'(x) \\\\&=& \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} \\\\\end{eqnarray*}

となるので、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

マスマスターの思考回路

本来、 \cfrac{dy}{dx} という微分の表記法は分数ではありませんが、右辺の \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} を分数であるとみなし du を約分すると、左辺の \cfrac{dy}{dx} に一致するということがわかると思います。

つまり、 \cfrac{dy}{dx} という微分の表記法は、計算上は分数のように扱って良いということになります。

合成関数の説明のおわりに

合成関数の微分を用いると、積分の重要計算である置換積分を行うことができるようになります。

置換積分を利用することにより、そのままでは計算が難しいような積分計算を行うことができるようになりますので、ぜひ身につけておきましょう。

【数III】微分の公式のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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