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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【微分】合成関数の微分の公式の証明

合成関数の微分の公式

ここでは、合成関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

合成関数の微分を用いることで、積分の重要計算である置換積分が扱えるようになりますので、まずは合成関数についての理解を深めましょう。

合成関数の微分の公式

y=f(u), ~u=g(x)で定義される関数y=f(g(x))について、

    \begin{eqnarray*} \left\{ f(g(x)) \right\}' &=& f'(g(x))g'(x) \\\\ \cfrac{dy}{dx} &=& \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} \end{eqnarray*}

【微分】微分の表記法 | dy/dx

合成関数の微分の公式の証明

    \begin{eqnarray*}\left\{ f(g(x)) \right\}' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f( g(x+h) ) - f( g(x) )}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f( g(x+h) ) - f( g(x) )}{g(x+h)-g(x)} \cdot \cfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f( g(x+h) ) - f( g(x) )}{g(x+h)-g(x)} \cdot g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

ここで、g(x+h)-g(x) = jとおくと、h \to 0のとき、j \to 0なので、

    \begin{eqnarray*}&=& \displaystyle \lim_{j \to 0} \cfrac{ f( g(x) + j ) - f( g(x) )}{j} \cdot g'(x) \\\\&=& f'(g(x)) g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x)) g'(x) \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

この式の左辺は、

    \begin{eqnarray*}\left\{ f(g(x)) \right\}' &=& \cfrac{dy}{dx}\end{eqnarray*}


であり右辺は、

    \begin{eqnarray*}f'(g(x)) g'(x) &=& f'(u) g'(x) \\\\&=& \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} \\\\\end{eqnarray*}

となるので、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

マスマスターの思考回路

本来、 \cfrac{dy}{dx} という微分の表記法は分数ではありませんが、右辺の \cfrac{dy}{du} \cdot \cfrac{du}{dx} を分数であるとみなし du を約分すると、左辺の \cfrac{dy}{dx} に一致するということがわかると思います。

つまり、 \cfrac{dy}{dx} という微分の表記法は、計算上は分数のように扱って良いということになります。

合成関数の説明のおわりに

合成関数の微分を用いると、積分の重要計算である置換積分を行うことができるようになります。

置換積分を利用することにより、そのままでは計算が難しいような積分計算を行うことができるようになりますので、ぜひ身につけておきましょう。

【数III】微分の公式のまとめ

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