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公式

【公式】円のベクトル方程式について

円のベクトル方程式

ベクトルを用いて記述された図形に関する方程式をベクトル方程式といいます。

ベクトル方程式は、ベクトルに関する基礎知識を用いて図形を方程式化しているだけなのですが、初見ではとっつきにくい印象を与える分野かと思います。

しかし、直線のベクトル方程式が理解できていれば円のベクトル方程式は比較的容易に理解できることでしょう。

それでは円のベクトル方程式についてお話ししていきます。

円のベクトル方程式

C(\overrightarrow{c}) を中心とし半径を r とする円上の任意の点 P(\overrightarrow{p}) のベクトル方程式は

    \begin{eqnarray*} |\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c}| &=& r \end{eqnarray*}

と表せる。

円のベクトル方程式の説明

線分 CP の値が 一定値r に等しいという意味合いの方程式をベクトルを用いて表現すると、

    \begin{eqnarray*} |\overrightarrow{CP}| &=& r \\\\ \end{eqnarray*}

であり、これを位置ベクトルを用いて差の形で表すと

    \begin{eqnarray*} |\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c}| &=& r \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

円のベクトル方程式は直線のベクトル方程式よりもすんなりと理解することが可能かと思います。
円という図形は、ある点(円の中心になります)から等距離にある点の集合により作られます。

つまり円周上の点 P(\overrightarrow{p}) と円の中心 C(\overrightarrow{c}) の距離が一定値 r に等しければ点 P により円が規定されることとなります。

円のベクトル方程式の説明の終わりに

いかがでしたか?

ベクトルは基礎概念の習得が非常に重要で、それさえ身につけていればベクトルという単元全体を理解しているといっても過言ではありません。

ベクトルだけに限ったことではありませんが、特にベクトルに対しては基礎を大切にしてください。

またベクトル方程式は、図形と方程式の単元で学んだ方程式で代替することが可能です。

よって、ベクトル方程式など使わずに図形と方程式の単元で学習した内容だけで問題を解いてしまえば良いのではないか?と考える方もおられるかと思います。(私もベクトル方程式を初めて学んだときにはそう思いました。)

しかし、それは平面図形に限られたことであって、空間図形を扱う場合には空間における直線の方程式のように、図形と方程式で学んだ知識でなくベクトルに頼らなければならない部分があるのです。

そして、ベクトルは平面でも空間でも同等に扱うことができるという強みを持っています。

ベクトル方程式ならびにベクトル自体は空間図形を扱うときにこそその力を発揮しますので、辛抱強くベクトルの学習を続けていただけたらと思います。

【基礎知識】平面上のベクトルのまとめ

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