基礎知識

ここでは、わかったようでわからない、わからないようでわかった気になりがちな、位置ベクトルについて解説していきます。

位置ベクトルは平たく言うと、「基準点を自由に決めて、基準点から見た終点の位置のみでベクトルを定義しよう」ということになるのですが、深く考えると難しいものです。

位置ベクトルについては様々な説明方法があるのですが、私なりの方法で説明してみたいと思います。

位置ベクトルについて

下図のような $\overrightarrow{AB}$ を考えます。

点 $A$ と点 $B$ しか図に含まれていないので、 $\overrightarrow{AB}$ というベクトルは $\overrightarrow{AB}$ 以外に表しようがありません。

ここで下図のように点 $O$ を追加してみます。

このとき、 ベクトルの差を用いて $\overrightarrow{AB}$ は

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \end{array}$$

と表すことができます。

ここで、上図の点 $O$ を別の位置に動かした状況を考えると下図のようになります。

点 $O$ の位置が移動しましたが、ベクトルの差を用いると $\overrightarrow{AB}$ は先ほどと同じく

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \end{array}$$

となります。

ここで改めて最初の図に戻りましょう。

$\overrightarrow{AB}$ は $\overrightarrow{AB}$ 以外でどう表せば良いでしょうか？答えは

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \end{array}$$

となります。

点 $O$ が存在していないにも関わらず $\overrightarrow{AB}$ は

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \end{array}$$

と表せることとなってしまいましたが、実際には点 $O$ は存在していないので $\overrightarrow{OB}$ や $\overrightarrow{OA}$ を定義することはできません。

そこで、 $O$ を使用しないように $\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}$ を次のように定義します。

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OB} &=& \overrightarrow{b} \\\\ \overrightarrow{OA} &=& \overrightarrow{a} \\\\ \end{array}$$

上の式の $\overrightarrow{b}$ や $\overrightarrow{a}$ が位置ベクトルです。

位置ベクトルは点の名前に併記して表現され、$A(\overrightarrow{a})$ などと表します。

このとき、 $\overrightarrow{AB}$ は

と表すことができます。

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$ という位置ベクトルを考えた場合、 $\overrightarrow{a}$ は点 $O$ を基準とした位置ベクトルであると言います。

複数のベクトルの位置ベクトルを考える場合、 基準となる点は統一しておかなければならないことに注意してください。

例えば、先に挙げた

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OB} &=& \overrightarrow{b} \\\\ \overrightarrow{OA} &=& \overrightarrow{a} \\\\ \end{array}$$

は、基準点を $O$ とした場合の位置ベクトルになりますが、基準点はどこにとってもいいので点 $A$ を基準とすることも可能です。

下図のように点 $A$ を基準とした位置ベクトル、つまり基準点 $O$ を点 $A$ に一致させた場合を考えてみましょう。

上の図では点 $A$ の位置ベクトルが $\overrightarrow{0}$ となっていますが、これは基準点 $O$ と点 $A$の位置が一致しているためです。このとき、

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{b} \\\\ \overrightarrow{AA} &=& \overrightarrow{0} \\\\ \end{array}$$

と表すことができます。

位置ベクトルの説明の終わりに

いかがでしたか？

位置ベクトルというものを考える利点は次のようなものになります。

• ベクトルをより簡単に表現すること
• 計算を楽に行えるようにすること

つまり、位置ベクトルはベクトルを扱ううえで、より簡単に問題を処理するための道具であると言えるでしょう。

今後、位置ベクトルを使う機会が多くなりますので、しっかり理解しておきましょう。

【基礎知識】平面上のベクトルのまとめ