高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【積分】定積分の部分積分法

定積分の部分積分法

積分は微分とは異なり、機械的に計算することができない場合があります。
そのような場合には、置換積分や部分積分を利用すると良いでしょう。

ここでは、定積分の部分積分法について解説していきますが、まずは不定積分の部分積分法について復習しておきましょう。

【積分】不定積分の部分積分法

定積分の部分積分

定積分の部分積分は、次の式によって行われる積分計算方法です。

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f'(x)g(x) dx &=& \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx \end{eqnarray*}

定積分の部分積分の証明

積の微分の公式より、

    \begin{eqnarray*}\{ f(x)g(x) \}' &=& f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

(1)   \begin{eqnarray*}f'(x)g(x) &=& \{ f(x)g(x) \}' - f(x)g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

(1)式をxについて、区間 a \leqq x \leqq b で積分すると、

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f'(x)g(x) dx &=& \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f'(x)g(x) dx &=& \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

定積分の部分積分の例題

例題を通して置換積分の流れを理解していきましょう。

\int_0^{\pi} e^x \sin x dx の値を求めよ

マスマスターの思考回路

指数関数の微分三角関数の微分を用いて e^x または \sin x の一方を、無理矢理、微分を用いて表しましょう。
ここでは、e^x = (e^x)' と変形し部分積分を行います。

    \begin{eqnarray*}\int_0^{\pi} e^x \sin x dx &=& \int_0^{\pi} (e^x)' \sin x dx \\\\&=& \left[ e^x \sin x \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^x (\sin x)' dx \\\\&=& (0 - 0) - \int_0^{\pi} e^x \cos x dx \\\\&=& - \int_0^{\pi} (e^x)' \cos x dx \\\\&=& - \left[ \left[e^x \cos x \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^x (\cos x)' dx \right] \\\\&=& - \left[ (-e^{\pi} - e^0) - \int_0^{\pi} e^x (-\sin x) dx \right] \\\\&=& - \left[ (-e^{\pi} - 1) + \int_0^{\pi} e^x \sin x dx \right] \\\\&=& e^{\pi} + 1 - \int_0^{\pi} e^x \sin x dx \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

左辺と右辺の両方に \int_0^{\pi} e^x \sin x dx があるので、同類項としてまとめましょう。

    \begin{eqnarray*}2\int_0^{\pi} e^x \sin x dx &=& e^{\pi} + 1 \\\\\end{eqnarray*}

よって計算結果は、

    \begin{eqnarray*}\int_0^{\pi} e^x \sin x dx &=& \cfrac{e^{\pi} + 1}{2}  \\\\\end{eqnarray*}

となります。

定積分の部分積分の説明のおわりに

いかがでしたか?

部分積分の式はその式自体を覚える必要はなく、部分積分を実際の計算で正確に行うことができれば問題ありません。
とてもミスが起きやすい計算になりますので、十分に演習を行っておきましょう。

【数III】積分法のまとめ

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