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公式

【微分】積の微分の公式の証明

積の微分の公式

ここでは、積の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

積の微分の公式

    \begin{eqnarray*} \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{eqnarray*}

積の微分の公式の証明

    \begin{eqnarray*}\left\{ f(x)g(x) \right\}' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) }{ h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ g(x+h)\{ f(x+h) -f(x) \} +g(x+h)f(x) - f(x)g(x) }{ h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} g(x+h) \cdot \cfrac{ f(x+h) -f(x) }{h} + f(x) \cdot \cfrac{ g(x+h) - g(x) }{ h} \\\\&=& g(x)f'(x) + f(x)g'(x) \\\\&=& f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

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