解法

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅰ］
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅰ］(1)

$x^2+qx+r=0$に対する判別式$D=q^2-4r$について、

$q^2-4r \geqq 0$のとき、$\alpha, \beta$は実数であり、P, A, Bが実軸上に並ぶので三角形をなすことができません。

よって、

$$\begin{align} q^2-4r < 0 \end{align}$$

となり、このとき、$\alpha, \beta$は複素数となります。

$\alpha=a+bi$とおくと、$\beta=a-bi$と表すことができます。実部を求めるために虚部を消去すると、

$$\begin{align} \alpha + \beta = 2a \end{align}$$

となります。

二次方程式の解と係数の関係より、

$$\begin{align} \alpha + \beta = -q \end{align}$$

なので、(2)式と(3)式より

$$\begin{array}{rcl} 2a &=& -q \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} a &=& -\cfrac{q}{2} \end{align}$$

(4)式により実部$a$が求まりました。これが$p$に一致しなければ良いので、

$$\begin{align} -\cfrac{q}{2}　\neq p \end{align}$$

(1)(5)式からP, A, Bが三角形をなすための条件は、

$$\begin{array}{rcl} \begin{cases} q^2-4r < 0 \\ -\cfrac{q}{2}　\neq p \end{cases} \end{array}$$

となります。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅰ］(2)

上図より、

$$\begin{array}{rcl} S &=& |\alpha – \beta| \left|-\cfrac{q}{2} – p \right|\cfrac{1}{2} \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& |\alpha – \beta| \left|\cfrac{q}{2} + p \right|\cfrac{1}{2} \end{align}$$

となります。$|\alpha – \beta|$を求めましょう。

$$\begin{array}{rcl} |\alpha – \beta|^2 &=& (\alpha – \beta) \overline{(\alpha – \beta)} \\\\ &=& (\alpha – \beta) (\overline{\alpha} – \overline{\beta}) \\\\ &=& (\alpha – \beta) (\beta – \alpha) \\\\ &=& -(\alpha – \beta)^2 \\\\ &=& -(\alpha^2 – 2\alpha\beta + \beta^2) \\\\ &=& -\{(\alpha + \beta)^2 -4\alpha\beta \} \end{array}$$

ここで、$\alpha, \beta$は$x^2+qx+r=0$の解であり、二次方程式の解と係数の関係を用いると

$$\begin{align} \alpha\beta = r \end{align}$$

(7)式と(2)式の$\alpha + \beta = -q$を用いて、

$$\begin{array}{rcl} |\alpha – \beta|^2 &=& -\{(\alpha + \beta)^2 -4\alpha\beta \} \\\\ &=& -\{(-q)^2 -4r \} \\\\ &=& -(q^2 -4r ) \\\\ &=& 4r – q^2 \end{array}$$

両辺の正の平方根をとると、

$$\begin{align} |\alpha – \beta| &=& \sqrt{4r – q^2} \end{align}$$

となります。

(8)式を(6)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} S &=& |\alpha – \beta| \left|\cfrac{q}{2} + p \right|\cfrac{1}{2} \\\\ &=& \sqrt{4r-q^2} \left|\cfrac{q}{2} + p \right|\cfrac{1}{2} \\\\ &=& \cfrac{1}{2}\left|\cfrac{q}{2} + p \right|\sqrt{4r-q^2} \end{array}$$

となります。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅰ］(3)

Qについて

$PQ=AQ$より、

$$\begin{array}{rcl} |z-p| &=& |z-\alpha| \end{array}$$

両辺を二乗して計算を進めていきます。

$$\begin{array}{rcl} |z-p|^2 &=& |z-\alpha|^2 \\ \\ (z-p)\overline{(z-p)} &=& (z-\alpha)\overline{(z-\alpha)} \\ \\ (z-p)(\overline{z}-\overline{p}) &=& (z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha}) \end{array}$$

ここで、$z, p$は実数なので、$\overline{z}=z, ~\overline{p}=p$となります。
また、$\overline{\alpha}=\beta$なので、

$$\begin{array}{rcl} (z-p)(z-p) &=& (z-\alpha)(z-\beta) \end{array}$$

となります。計算を続けていきましょう。

$$\begin{array}{rcl} z^2-2zp+p^2 &=& z^2-(\alpha + \beta)z + \alpha\beta \\\\ -2zp+p^2 &=& -(\alpha + \beta)z + \alpha\beta \end{array}$$

これに(3)式と(7)式を代入し、整理します。

$$\begin{array}{rcl} -2zp+p^2 &=& -(-q)z + r \\\\ -2zp+p^2 &=& qz + r \\\\ z(-2p-q) &=& r – p^2 \\\\ z(2p+q) &=& p^2 – r \end{array}$$

(5)式より$2p+q \neq 0$なので、

$$\begin{array}{rcl} z &=& \cfrac{p^2 – r}{2p+q} \end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl} Q \left(\cfrac{p^2 – r}{2p+q} \right) \end{array}$$

となります。

Rについて

$$\begin{array}{rcl} R &=& |z-p| \\\\ &=& \left|\cfrac{p^2 – r}{2p+q}-p \right| \\\\ &=& \left|\cfrac{p^2 – r -2p^2-pq}{2p+q} \right| \\\\ &=& \left|\cfrac{-p^2 – r -pq}{2p+q} \right| \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& \left|\cfrac{p^2 + r + pq}{2p+q} \right| \end{align}$$ $$\begin{array}{rcl} p^2 + r + pq &=& \left(p + \cfrac{q}{2} \right)^2 – \left(\cfrac{q}{2} \right)^2 + r \\\\ &=& \left(p + \cfrac{q}{2} \right)^2 – \cfrac{q^2}{4} + r \\\\ &=& \left(p + \cfrac{q}{2} \right)^2 – \cfrac{q^2 -4r}{4} \end{array}$$

(1)式より、$q^2-4r < 0$なので、$\left(p + \cfrac{q}{2} \right)^2 – \cfrac{q^2 -4r}{4} > 0$、つまり、

$$\begin{align} p^2 + r + pq > 0 \end{align}$$

であることがわかります。

よって、(9)式と(10)式より、

$$\begin{array}{rcl} R &=& \cfrac{p^2 + r + pq}{|2p+q|} \end{array}$$

となります。