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【早稲田大学の入試問題を解説!】2018年度入試 基幹理工・創造理工・先進理工 数学[III]

早稲田の数学入試問題を解説

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[III]
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[III]

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[III](1)

マスマスターの思考回路

無理数であることを証明するには背理法が有効です。

\sqrt[3]{p}が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数m, nを用いて、\sqrt[3]{p}=\cfrac{n}{m}と表すことができます。

両辺を3乗すると、p=\cfrac{n^3}{m^3}となり、両辺にm^3をかけると、

(1)   \begin{eqnarray*} m^3p=n^3\\\\ \end{eqnarray*}

となります。(1)式の左辺はpの倍数なので、右辺のn^3pの倍数になります。
このときnpの倍数となるので、自然数lを用いて、n=lpと表すことができ、これを(1)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} m^3p=l^3p^3\\\\ \end{eqnarray*}

となりこれをp\neq 0で割ると、

(2)   \begin{eqnarray*} m^3=l^3p^2\\\\ \end{eqnarray*}

となります。(2)式の右辺はpの倍数なので、左辺のm^3pの倍数になります。
このときmpの倍数となりますが、ここまでで、npの倍数であることになっているので、mnが互いに素であることに矛盾します。

よって、\sqrt[3]{p}は無理数となります。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[III](2)

マスマスターの思考回路

等式の証明なので、与えられた条件式を代入し計算していけば良いでしょう。

a(\sqrt[3]{p})^2+b\sqrt[3]{p}+c=0cについて解くと、

(3)   \begin{eqnarray*} c= -a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。よって、

    \begin{eqnarray*} && ap + b(\sqrt[3]{p})^2 + c\sqrt[3]{p} \\\\ &=& ap + b(\sqrt[3]{p})^2 + (-a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p})\sqrt[3]{p} \\\\ &=& ap + b(\sqrt[3]{p})^2 -ap -b(\sqrt[3]{p})^2 \\\\ &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

(4)   \begin{eqnarray*} ap + b(\sqrt[3]{p})^2 + c\sqrt[3]{p} = 0 \end{eqnarray*}

が証明されました。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[III](3)

マスマスターの思考回路

(2)と同様に進めましょう。

bc-a^2p+(b^2-ac)\sqrt[3]{p}に(3)式を代入すると、

    \begin{eqnarray*} && bc-a^2p+(b^2-ac)\sqrt[3]{p} \\\\ &=& b( -a(\sqrt[3]{p})^2 - b\sqrt[3]{p} ) -a^2p+ \{b^2 - a (-a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p}) \}\sqrt[3]{p} \\\\ &=& -ab(\sqrt[3]{p})^2 - b^2 \sqrt[3]{p} -a^2p + b^2 \sqrt[3]{p} - a (-a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p})\sqrt[3]{p} \\\\ &=& -ab(\sqrt[3]{p})^2 - b^2 \sqrt[3]{p} -a^2p + b^2 \sqrt[3]{p} +a^2p +ab(\sqrt[3]{p})^2 \\\\ &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

(5)   \begin{eqnarray*} bc-a^2p+(b^2-ac)\sqrt[3]{p} = 0 \end{eqnarray*}

が証明されました。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[III](4)

マスマスターの思考回路

(2), (3)とは趣向が異なり、単純に代入すれば済むということではなさそうです。

a(\sqrt[3]{p})^2+b\sqrt[3]{p}+c=0が成立するとき、a=b=c=0とならなければならないのは\sqrt[3]{p}が無理数であることが原因になります。(右辺が0(有理数)なため、左辺も有理数でなければならない。)

よって、\sqrt[3]{p}が無理数であることを利用して進めていけば良さそうです。
無理数であるということは、整数を用いた分数で表せないということですので、これを切り口に進めましょう。

b^2-ac \neq 0のとき、(5)式を\sqrt[3]{p}について解くと、

    \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{p} = \cfrac{a^2p - bc}{b^2-ac} \end{eqnarray*}

となりますが、\sqrt[3]{p}が整数を用いた分数の形で表せてしまっていることが、(1)で示した「\sqrt[3]{p}が無理数であること」に矛盾します。

よって、

(6)   \begin{eqnarray*} b^2-ac = 0 \end{eqnarray*}

となります。このとき、(5)式は

(7)   \begin{eqnarray*} bc-a^2p = 0 \end{eqnarray*}

となります。

(7)式より、a\neq 0とすると、

(8)   \begin{eqnarray*} p = \cfrac{bc}{a^2} \end{eqnarray*}

a\neq 0を仮定していますので、(6)式もaで割ることができ、c = \cfrac{b^2}{a}となります。これを(8)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} p = \cfrac{b^3}{a^3} \end{eqnarray*}

この両辺の三乗根をとると、

    \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{p} = \cfrac{b}{a} \end{eqnarray*}

となり、\sqrt[3]{p}が無理数であることに矛盾します。

よって a=0となり、(6)式より b=0、(3)式より c=0となるので、

    \begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}

が証明されました。

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