解法

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［III］
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［III］(1)

$\sqrt[3]{p}$が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数$m, n$を用いて、$\sqrt[3]{p}=\cfrac{n}{m}$と表すことができます。

両辺を3乗すると、$p=\cfrac{n^3}{m^3}$となり、両辺に$m^3$をかけると、

$$\begin{align} m^3p=n^3 \end{align}$$

となります。(1)式の左辺は$p$の倍数なので、右辺の$n^3$も$p$の倍数になります。
このとき$n$も$p$の倍数となるので、自然数$l$を用いて、$n=lp$と表すことができ、これを(1)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} m^3p=l^3p^3 \end{array}$$

となりこれを$p\neq 0$で割ると、

$$\begin{align} m^3=l^3p^2 \end{align}$$

となります。(2)式の右辺は$p$の倍数なので、左辺の$m^3$も$p$の倍数になります。
このとき$m$も$p$の倍数となりますが、ここまでで、$n$が$p$の倍数であることになっているので、$m$と$n$が互いに素であることに矛盾します。

よって、$\sqrt[3]{p}$は無理数となります。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［III］(2)

$a(\sqrt[3]{p})^2+b\sqrt[3]{p}+c=0$を$c$について解くと、

$$\begin{align} c= -a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p} \end{align}$$

となります。よって、

$ ap + b(\sqrt[3]{p})^2 + c\sqrt[3]{p} \\$
$= ap + b(\sqrt[3]{p})^2 + (-a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p})\sqrt[3]{p} \\$
$= ap + b(\sqrt[3]{p})^2 -ap -b(\sqrt[3]{p})^2 \\$
$= 0$

以上により、

$$\begin{align} ap + b(\sqrt[3]{p})^2 + c\sqrt[3]{p} = 0 \end{align}$$

が証明されました。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［III］(3)

$bc-a^2p+(b^2-ac)\sqrt[3]{p}$に(3)式を代入すると、

$bc-a^2p+(b^2-ac)\sqrt[3]{p} \\$
$= b( -a(\sqrt[3]{p})^2 – b\sqrt[3]{p} ) -a^2p+ \{b^2 – a (-a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p}) \}\sqrt[3]{p} \\$
$= -ab(\sqrt[3]{p})^2 – b^2 \sqrt[3]{p} -a^2p + b^2 \sqrt[3]{p} – a (-a(\sqrt[3]{p})^2-b\sqrt[3]{p})\sqrt[3]{p} \\$
$= -ab(\sqrt[3]{p})^2 – b^2 \sqrt[3]{p} -a^2p + b^2 \sqrt[3]{p} +a^2p +ab(\sqrt[3]{p})^2 \\$
$= 0$

以上により、

$$\begin{align} bc-a^2p+(b^2-ac)\sqrt[3]{p} = 0 \end{align}$$

が証明されました。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［III］(4)

$b^2-ac \neq 0$のとき、(5)式を$\sqrt[3]{p}$について解くと、

$$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{p} = \cfrac{a^2p – bc}{b^2-ac} \end{array}$$

となりますが、$\sqrt[3]{p}$が整数を用いた分数の形で表せてしまっていることが、(1)で示した「$\sqrt[3]{p}$が無理数であること」に矛盾します。

よって、

$$\begin{align} b^2-ac = 0 \end{align}$$

となります。このとき、(5)式は

$$\begin{align} bc-a^2p = 0 \end{align}$$

となります。

(7)式より、$a\neq 0$とすると、

$$\begin{align} p = \cfrac{bc}{a^2} \end{align}$$

$a\neq 0$を仮定していますので、(6)式も$a$で割ることができ、$c = \cfrac{b^2}{a}$となります。これを(8)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} p = \cfrac{b^3}{a^3} \end{array}$$

この両辺の三乗根をとると、

$$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{p} = \cfrac{b}{a} \end{array}$$

となり、$\sqrt[3]{p}$が無理数であることに矛盾します。

よって $a=0$となり、(6)式より $b=0$、(3)式より $c=0$となるので、

$$\begin{array}{rcl} a=b=c=0 \end{array}$$

が証明されました。