解法

2018年度東大入試第2問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第2問(1)

$$\begin{array}{rcl} a_n &=& \frac{\displaystyle \frac{(2n+1)!}{n!\{(2n+1)-n\}!}}{n!} \\\\ &=& \frac{(2n+1)!}{(n!)^2 (n+1)!} \\\\ &=& \frac{(2n+1)(2n)(2n-1) \cdots (n+2)(n+1)!}{(n!)^2 (n+1)!} \\\\ &=& \frac{(2n+1)(2n)(2n-1) \cdots (n+2)}{(n!)^2} \end{array}$$

これを$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}$に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \frac{a_n}{a_{n-1}} &=& \frac{\displaystyle \frac{(2n+1)(2n)(2n-1) \cdots (n+2)}{(n!)^2}}{\displaystyle \frac{\{2(n-1)+1\}\{2(n-1)\}\{2(n-1)-1\} \cdots \{(n-1)+2\}}{\{(n-1)!\}^2}}\\\\ &=& \frac{\displaystyle \frac{(2n+1)(2n)(2n-1) \cdots (n+2)}{(n!)^2}}{\displaystyle \frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3) \cdots (n+1)}{\{(n-1)!\}^2}}\\\\ &=& \frac{\{(n-1)!\}^2 (2n+1)(2n)(2n-1) \cdots (n+2)}{(n!)^2 (2n-1)(2n-2)(2n-3) \cdots (n+1) }\\\\ &=& \left\{ \frac{(n-1)!}{n!} \right\}^2 \frac{(2n+1)(2n)}{(n+1) }\\\\ &=& \left( \frac{1}{n} \right)^2 \frac{(2n+1)(2n)}{(n+1) }\\\\ &=& \frac{2(2n+1)}{n(n+1)} \end{array}$$

となります。

分母と分子を$2$で割りましょう。

$$\begin{array}{rcl} \frac{a_n}{a_{n-1}} &=& \frac{2(2n+1)}{n(n+1)}\\\\ &=& \frac{(2n+1)}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}} \end{array}$$

これにより、$p_n=\cfrac{n(n+1)}{2}, 　q_n = 2n+1$となります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第2問(2)

$f(n)= \cfrac{a_n}{a_{n-1}} = \cfrac{2(2n+1)}{n(n+1)}$ とおきます。

商の微分の公式を用いて微分します。

$$\begin{array}{rcl} f'(n) &=& \displaystyle \frac{4n(n+1)-2(2n+1)(2n+1)}{\{n(n+1)\}^2} \\\\ &=& \displaystyle \frac{4n^2 +4n-2(4n^2 + 4n + 1)}{\{n(n+1)\}^2} \\\\ &=& \displaystyle \frac{-4n^2 -4n-2}{\{n(n+1)\}^2} \\\\ &=& \displaystyle \frac{-2(2n^2 + 2n+1)}{\{n(n+1)\}^2} \\\\ &=& \displaystyle \frac{-2\{2(n+ \frac{1}{2} )^2 + \frac{1}{2}\}}{\{n(n+1)\}^2} < 0 \end{array}$$

となり、$f(n)$は単調に減少します。

$$\begin{array}{rcl} f(n) &<& 1 \\\\ \cfrac{2(2n+1)}{n(n+1)} &<& 1 \\\\ 4n+2 &<& n^2 + n \\\\ n^2 -3n -2 &>& 0 \end{array}$$

これをみたす$n \geqq 2$ における最小の$n$は$4$なので、 $n \geqq 4 $ のとき、 $a_n < a_{n-1}$ となります。

$n = 1$ のとき、

$$\begin{array}{rcl} a_1 = \frac{_3 C _1 }{1!} = 3 \end{array}$$

$n \geqq 2$ のとき、$a_n = \cfrac{2(2n+1)}{n(n+1)} \cdot a_{n-1}$ より、

$$\begin{array}{rcl} a_2 &=& \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \cdot 3 = 5 \\\\ a_3 &=& \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 4} \cdot 5 = \frac{35}{6} \end{array}$$

以降$a_n$は単調に減少します。

$$\begin{array}{rcl} a_4 &=& \frac{2 \cdot 9}{4 \cdot 5} \cdot \frac{35}{6} = \frac{21}{4} \\\\ a_5 &=& \frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 6} \cdot \frac{21}{4} = \frac{77}{20} \\\\ a_6 &=& \frac{2 \cdot 13}{6 \cdot 7} \cdot \frac{77}{20} = \frac{143}{60} \\\\ a_7 &=& \frac{2 \cdot 15}{7 \cdot 8} \cdot \frac{143}{60} = \frac{143}{112} \\\\ a_8 &=& \frac{2 \cdot 17}{8 \cdot 9} \cdot \frac{143}{112} = \frac{2431}{4032} < 1 \end{array}$$

$n \geqq 8$ のときは、 $0 < a_n < 1$ となり、整数となることはありません。

以上から、$n = 1, 2$ となります。