公式

【対数関数】底の変換公式の証明

対数関数は指数関数の逆関数であり、双方には密接な関係があります。
対数の計算公式は、指数法則をもとに成立しているので、まずは指数法則をしっかり理解しておく必要があります。

【指数関数】指数法則について説明するよ

ここでは底の変換公式の証明を行っていきます。

対数関数の底の変換公式

    \begin{eqnarray*}\log_a P &=& \cfrac{\log_c P}{\log_c a} \\\\\end{eqnarray*}

証明

    \begin{eqnarray*}\log_a P = M \\\\\end{eqnarray*}

とおくと、

    \begin{eqnarray*}P = a^M \\\\\end{eqnarray*}

と表せます。

両辺のcを底とする対数をとると、

    \begin{eqnarray*}\log_c P &=& \log_c a^M \\\\\end{eqnarray*}

ここで、対数関数の真数の累乗は対数の係数であることから、

    \begin{eqnarray*}\log_c P &=& M\log_c a \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*}M &=& \cfrac{\log_c P}{\log_c a} \\\\\end{eqnarray*}

M = \log_a Pなので、

    \begin{eqnarray*}\log_a P &=& \cfrac{\log_c P}{\log_c a} \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

【対数関数】対数関数の基本計算公式のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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