基礎知識

微分はどのような関数に対しても機械的に計算することが可能ですが、積分の場合は必ずしもそうではありません。
積分では式の特徴を捉えて計算の方針を決める必要があります。

その意味では微分と積分は、展開と因数分解の関係と似ています。

展開は公式に従えば必ず実行できる反面、因数分解はそうではありませんよね？

そのまま積分を実行することができない（または難しい）ような場合には、置換積分や部分積分を利用すると良いでしょう。

ここでは定積分の置換積分法について解説していきますが、まずは不定積分の置換積分法を復習しておきましょう。

【積分】不定積分の置換積分法

定積分の置換積分

定積分の置換積分は、次の式によって行われる積分計算方法です。

定積分の置換積分の証明

$f(x)$の原始関数の一つを$F(x)$とすると、

$$\begin{align} F(x) = \int f(x) dx \end{align}$$

が成り立ちます。また $x=g(t)$ のとき、不定積分の置換積分法から、

$$\begin{align} \int f(x)dx &=& \int f(g(t))g'(t) dt \end{align}$$

となります。

(1), (2)式から、

$$\begin{array}{rcl} \int f(g(t))g'(t) dt &=& F(x) \end{array}$$

が成り立ち、$x=g(t)$ としているので、

$$\begin{align} \int f(g(t))g'(t) dt &=& F(g(t)) \end{align}$$

となります。

(3)式に対し、定積分の定義より、

$$\begin{array}{rcl} \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t) dt &=& \left[ F(g(t)) \right]_\alpha^\beta \\\\ &=& F(g(\beta)) – F(g(\alpha)) \\ \end{array}$$

であり、$a=g(\alpha), b=g(\beta)$とすると、

$$\begin{array}{rcl} &=& F(b) – F(a) \\\\ &=& \int_a^b f(x)dx \\ \end{array}$$

よって、

が成り立つことが証明されました。

定積分の置換積分の例題

例題を通して置換積分の流れを理解していきましょう。

次の積分を考えましょう。

$$\begin{array}{rcl} \int_0^2 x\sqrt{2-x} dx \\ \end{array}$$

不定積分と同様に進めればよいのですが、定積分の置換積分では、積分区間が変更されることに注意してください。

$\sqrt{2-x} = t$とおくと、$x$ が $0 \to 2$ のとき、 $t$ は $\sqrt{2} \to 0$ となります。

また、

$$\begin{array}{rcl} 2-x &=& t^2 \\\\ x &=& 2 – t^2 \\ \end{array}$$

であり、上式を$t$で微分すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{dx}{dt} &=& -2t \\\\ dx &=& -2t dt \\ \end{array}$$

よって、

$\int_0^2 x\sqrt{2-x} dx \\$
$= \int_{\sqrt{2}}^0 (2 – t^2)t (-2t) dt\\$
$= -2 \int_{\sqrt{2}}^0 (2 – t^2)t^2 dt\\$
$= -2 \int_{\sqrt{2}}^0 2t^2 – t^4 dt\\$
$= 2 \int_{\sqrt{2}}^0 t^4 – 2t^2 dt\\$
$= 2 \left[ \cfrac{t^5}{5} – \cfrac{2t^3}{3} \right]_{\sqrt{2}}^0\\$
$= 2 \left[ \left( \cfrac{0^5}{5} – \cfrac{2\cdot0^3}{3} \right) – \left( \cfrac{\sqrt{2}^5}{5} – \cfrac{2\sqrt{2}^3}{3} \right) \right] \\$
$= 2 \left[ – \left( \cfrac{4\sqrt{2}}{5} – \cfrac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right] \\$
$= 2 \left( \cfrac{4\sqrt{2}}{3} – \cfrac{4\sqrt{2}}{5} \right) \\$
$= 2 \left( \cfrac{20\sqrt{2}}{15} – \cfrac{12\sqrt{2}}{15} \right) \\$
$= 2 \left( \cfrac{8\sqrt{2}}{15} \right) \\$
$= \cfrac{16\sqrt{2}}{15} $

となります。

定積分の置換積分の説明のおわりに

置換積分の式はその式自体を覚える必要はなく、置換積分を実際の計算で正確に行うことができれば問題ありません。
とてもミスが起きやすい計算になりますので、十分に演習を行っておきましょう。

【数III】積分法のまとめ