【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する
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【公式】xのn乗の微分
微分の定義を用いればどのような関数でも微分することが可能ですが、微分の定義に従って微分を行うことは骨の折れる作業となります。
そこで微分を公式化することを考えましょう。
ここではxのn乗の微分の公式について解説していきます。
xのn乗の微分
xのn乗の微分は次のようになります。
$$\begin{array}{rcl}
(x^n)’ &=& nx^{n-1} \\
\end{array}$$
xのn乗の微分の証明
$f(x) = x^n$ とおきます。
微分の定義
$$\begin{array}{rcl} f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \end{array}$$に$f(x) = x^n$を代入すると
$$\begin{align} f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ \end{align}$$ここで二項定理より、
$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$
となるので、これを(1)式に代入すると、
$f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{x^n + nx^{n-1}h + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n -x^n}{h} \\$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{nx^{n-1}h + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \\$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0} nx^{n-1} + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \\$
$= nx^{n-1} $
以上により、
$$\begin{array}{rcl}
(x^n)’ &=& nx^{n-1} \\
\end{array}$$
が証明されました。
xのn乗の微分の説明のおわりに
いかがでしたか？
あまり使う機会の多くない二項定理ですが、こんなところで役に立つとは意外なものですね。
マスマスターの思考回路
xのn乗の微分は基本中の基本ですから、特別な公式のようなものでなく、当たり前のものとして使いこなせるように練習しておきましょう。
【数II】微分法と積分法のまとめ
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プロフィール
-このサイトの記事を書いている人-
某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。
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$(x^n)’ = nx^{n-1}$ はその公式自体よりも $n$ が具体的な数値のときに滞りなく計算できることが大切かと思います。
$x^n$ の微分は、「次数を係数にし、次数を一つ減らす」といったように手順のように記憶しておくようにしましょう。