解法

2019年度東大入試第3問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第3問(1)

AEの直線の方程式は、

$$\begin{array}{rcl} z &=& \cfrac{0-(-2)}{2-0}x -2 \\\\ &=& x -2 \end{array}$$

$y=0$での平面$\alpha$の方程式は$z=x-1$であり、点$P(p, 2)$がこの直線上にあるとき、

$$\begin{array}{rcl} 2&=&p-1 \\\\ p&=&3 \end{array}$$

$2 < p < 3$ のとき、

$p = 3$ のとき、

$3 < p < 4$ のとき、

となります。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第3問(2)

平面$\alpha$が八面体$PABCDE$と共有点を持つ辺は、

$2 < p \leqq 3$ のとき、辺$PA$, $EB$, $EC$, $ED$, $AB$, $AD$

$3 < p < 4$ のとき、辺$EB$, $EC$, $ED$, $AB$, $AD$, $PD$, $PC$, $PB$

であり、切り口が八角形となる$p$の範囲は、

$$\begin{array}{rcl} 3 < p < 4 \end{array}$$

となります。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第3問(3)

平面$\alpha$の方程式は設問(1)で図示した結果から、

$$\begin{align} z=x-1 \end{align}$$

となります。

これと各辺の交点の座標を求めます。

平面αと辺PCの交点

点$P(p, 0, 2), C(-2, 0, 0)$より、辺$PC$は$zx$平面上にあり、その直線の方程式は、

$$\begin{array}{rcl} z &=& \cfrac{2-0}{p-(-2)}(x-(-2)) \\\\ &=& \cfrac{2}{p+2}(x+2) \end{array}$$

であり、これを(1)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} x-1 &=& \cfrac{2}{p+2}(x+2) \\\\ (x-1)(p+2) &=& 2(x+2) \\\\ x(p+2-2) -p-2 &=& 4 \\\\ px &=& p+6 \\\\ x &=& \cfrac{p+6}{p} \end{array}$$

これを(1)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} z &=& \cfrac{p+6}{p} -1 \\\\ &=& \cfrac{6}{p} \end{array}$$

よって、平面$\alpha$と辺$PC$の交点の座標は、

$$\begin{align} \left(\cfrac{p+6}{p}, 0, \cfrac{6}{p} \right) \end{align}$$

となります。

平面αと辺PBの交点

$P(p, 0, 2), B(0, 2, 0)$について空間における直線の方程式より、直線 $PB$ の方程式は、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{x-p}{0-p} = \cfrac{y-0}{2-0} = \cfrac{z-2}{0-2} \end{array}$$ $$\begin{align} \cfrac{p-x}{p} = \cfrac{y}{2} = \cfrac{2-z}{2} \end{align}$$

であり、これと(1)式より、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{p-x}{p} &=& \cfrac{2-(x-1)}{2} \\\\ 2(p-x) &=& p(3-x) \\\\ x(p-2) &=& p \end{array}$$ $$\begin{align} x &=& \cfrac{p}{p-2} \end{align}$$

これを(3)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} y &=& \cfrac{2\left(p-\cfrac{p}{p-2}\right)}{p} \\\\ &=& 2(1-\cfrac{1}{p-2}) \\\\ &=& \cfrac{2(p-3)}{p-2} \end{array}$$

(4)式を(1)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} z &=& \cfrac{p}{p-2} -1 \\\\ &=& \cfrac{p-(p-2)}{p-2} \\\\ &=& \cfrac{2}{p-2} \end{array}$$

よって、平面$\alpha$と辺$PB$の交点の座標は、

$$\begin{align} \left(\cfrac{p}{p-2}, \cfrac{2(p-3)}{p-2}, \cfrac{2}{p-2} \right) \end{align}$$

となります。

平面αと辺ABの交点

平面$\alpha$と辺$AB$の交点は点 $M$ に一致し、その座標は、

$$\begin{align} (1, 1, 0) \end{align}$$

となります。

平面αと辺ACの交点

平面$\alpha$と辺$AC$の交点は点 $M, N$ の中点に一致し、その座標は、

$$\begin{align} (1, 0, 0) \end{align}$$

となります。

該当範囲を図示し面積を求める

(2), (5), (6), (7)式より、求める部分を図示すると下図のようになります。

この面積は、

$$\begin{array}{rcl} && \cfrac{6}{p} \cdot \cfrac{2(p-3)}{p-2} \cdot \cfrac{1}{2} + 1 \cdot \cfrac{2}{p-2} \cdot \cfrac{1}{2} \\\\ &=& \cfrac{2}{2(p-2)} \left( \cfrac{6}{p} \cdot (p-3) + 1 \right) \\\\ &=& \cfrac{1}{p(p-2)} (6p-18+p) \\\\ &=& \cfrac{7p-18}{p(p-2)} \end{array}$$

となります。