解法

2019年度東大入試第2問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

$AQ=a$, $DR=b$ とし、問題の状況を図示すると下のようになります。

問題文の条件から、

$$\begin{align} APQ &=& \cfrac{1}{3} \end{align}$$ $$\begin{align} PQR &=& \cfrac{1}{3} \end{align}$$

また、$AQ=a$, $DR=b$ と設定していることから、

$$\begin{align} \cfrac{DR}{AQ} = \cfrac{b}{a} \end{align}$$

(1)式より、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{AP \cdot a}{2} = \cfrac{1}{3} \end{array}$$

$a \neq 0$ より、

$$\begin{align} AP = \cfrac{2}{3a} \end{align}$$

(2)式より、

$$\begin{array}{rcl} PQR &=& APRD – APQ -DRQ = \cfrac{1}{3} \\ \end{array}$$

上式と(1), (4)式より

$\left(\cfrac{2}{3a} + b \right)\cfrac{1}{2} – \cfrac{1}{3} – \cfrac{b(1-a)}{2} = \cfrac{1}{3} \\$
$\cfrac{1}{2} \left( (\cfrac{2}{3a} + b) – b(1-a) \right) = \cfrac{2}{3} \\$
$3\left(\cfrac{2}{3a} + ab \right) = 4 \\$
$ab = \cfrac{4}{3} – \cfrac{2}{3a} \\$
$b = \cfrac{1}{a} \left( \cfrac{4}{3} – \cfrac{2}{3a} \right) \\$
$= \cfrac{2}{3a} \left( 2 – \cfrac{1}{a} \right) \\$
$= \cfrac{2}{3a} \left( \cfrac{2a-1}{a} \right) \\$
$= \cfrac{2(2a-1)}{3a^2} $

よって、

$$\begin{align} b &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^2} \\ \end{align}$$

(5)式を(3)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{DR}{AQ} &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{array}$$

これを$f(a)$とおくと、

$$\begin{array}{rcl} f(a) &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{array}$$

$AQ = 1$となっても構わないことから、

$$\begin{align} 0 < a \leqq 1 \\ \end{align}$$

また、$APQ = \cfrac{1}{3}$ より、$AP \neq 0$ なので、

$$\begin{array}{rcl} 0 < AP \leqq 1 \end{array}$$

であることと(4)式より、

$$\begin{array}{rcl} 0 < \cfrac{2}{3a} \leqq 1 \\\\ 0 < 2 \leqq 3a \\ \end{array}$$

よって、

$$\begin{align} \cfrac{2}{3} \leqq a \\ \end{align}$$

(6), (7)式より、

$$\begin{align} \cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 \\ \end{align}$$

また、△DRQについては面積に関する条件がないことから、$0 \leqq DR \leqq 1$ であり、これと(5)式より、

$$\begin{array}{rcl} 0 \leqq \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \leqq 1 \\\\ 0 \leqq 2(2a-1) \leqq 3a^3 \\ \end{array}$$

上式について、(8)式より$0 \leqq 2(2a-1)$ は成り立つので、右側の二辺のみを考えればよく、

$$\begin{array}{rcl} 2(2a-1) \leqq 3a^3 \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} 3a^2-4a+2 \geqq 0 \\ \end{array}$$

ここで、

$$\begin{array}{rcl} 3a^2-4a+2 = 0 \\ \end{array}$$

に対する判別式は $D=16-4\cdot 3 \cdot 2 < 0$ であることから、

$$\begin{array}{rcl} 3a^2-4a+2 \geqq 0 \\ \end{array}$$

は常になりたちます。よって、$a$ の定義域は(8)式そのものであり、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 \\ \end{array}$$

となります。

$$\begin{array}{rcl} f(a) &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{array}$$

に対し、商の微分を用いて微分すると、

$$\begin{array}{rcl} f'(a) &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2a^3-(2a-1)3a^2}{a^6} \\\\ &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2a-(2a-1)3}{a^4} \\\\ &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{-4a+3}{a^4} \\ \end{array}$$

よって、$\cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1$ のとき、最大値は$f(\frac{3}{4})$ であり、

$$\begin{array}{rcl} f(\frac{3}{4}) &=& \cfrac{2(2\cdot \frac{3}{4} – 1)}{3 \left( \frac{3}{4}\right)^3} \\\\ &=& \cfrac{2\cdot 4^3(\frac{1}{2})}{3^4} \\\\ &=& \cfrac{4^3}{3^4} \\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& \cfrac{64}{81} \end{align}$$ $$\begin{array}{rcl} f(\frac{2}{3}) &=& \cfrac{2(2\cdot \frac{2}{3} – 1)}{3 \left( \frac{2}{3}\right)^3} \\\\ &=& \cfrac{3^2(\frac{1}{3})}{2^2} \\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& \cfrac{3}{4} \\ \end{align}$$ $$\begin{array}{rcl} f(1) &=& \cfrac{2(1)}{3} \\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& \cfrac{2}{3} \\ \end{align}$$

(10), (11)式より、最小値は $f(1) = \cfrac{2}{3} $ となります。

以上から、$\cfrac{DR}{AQ}$ の最大値・最小値はそれぞれ(9), (11)式より、$\cfrac{64}{81}, ~\cfrac{2}{3}$ となります。