基礎知識

微分は一般的に「’」を用いて$f'(x)$や$y’$などと表されますが、場合によっては $~\cfrac{dy}{dx}~$ と表されることがあります。
今回は、なぜこのようなまどろっこしい表現をするのか、どのような利点があるのか、についてお話ししていきたいと思います。

$f'(x)$は、「エフダッシュエックス」や「エフプライムエックス」と読みます。
日本の高校では「エフダッシュエックス」と習うことが多いようですが、詳しくはこちらのサイトを参考にしてください。

何を何で微分するのか

例えば、$x$の関数$y$が、$y = 3x^2+2x$と表されているときの微分は、

$$\begin{array}{rcl} y’ = 6x+2 \end{array}$$

となります。
これについては問題ありませんね？次は少し複雑な状況を考えましょう。

$y$が$x$以外の文字$a$を含むような関数$y = 3x^2+2ax$を考えます。

$y$を$x$で微分すると、

$$\begin{align} y’ = 6x+2a \end{align}$$

となり、

$y$を$a$で微分すると

$$\begin{align} y’ = 2x \end{align}$$

となります。

dy/dxとは

$\cfrac{dy}{dx}$ は「ディーワイディーエックス」と読み、$y$の$x$による微分（$y$を$x$で微分した結果）を意味します。
この記法に従うと、(1), (2)式はそれぞれ、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{dy}{dx} &=& 6x+2a \\\\ \cfrac{dy}{da} &=& 2x \end{array}$$

となります。
この記法ならば何を何で微分しているかがわかるので、複数の文字が含まれている場合にはこの記法を用いることで誤解を防ぐことができます。

dy/dxは分数ではないが、、、

$\cfrac{dy}{dx}$ は、分母分子の$d$を約分して、 $\cfrac{y}{x}$ とすることはできません。

$\cfrac{dy}{dx}$ で一つの記号であり、$dy$ を $dx$で割ったものでも、$dx$ 分の $dy$ を意味しているわけでもありません。

しかし、$\cfrac{dy}{dx}$ は、計算上は分数として扱うことができます。

合成関数の微分を学習すると、そのことが理解できるようになるかと思います。

【微分】合成関数の微分の公式の証明

dy/dxの説明のおわりに

初学の段階ではあまり深く考えず、$\cfrac{dy}{dx}$という微分の表記方法があるということだけ覚えておけば良いでしょう。

そして、合成関数の微分を用いると、置換積分を行うことができるようになります。
置換積分は、そのままでは積分できないような関数や、複雑な関数の積分を行う際に有用です。

これらもあわせて理解しておきましょう。

【数III】微分の公式のまとめ

【数III】微分法のまとめ