解法

2018年度東大入試第5問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第5問(1)

$u$を求める

上の図から$OP ~//~ AQ$なので、$|u-1|=k|z|$を満たす実数$k$が存在します。

$k$の値は、

$$\begin{array}{rcl} k&=&\cfrac{|u-1|}{|z|} \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=&|u-1| \end{align}$$

となります。

$z$の偏角を$\theta$とすると、$OH=\cos\theta$より、$HP=1-\cos\theta$となります。
よって、$k=|u-1|=2HP=2(1-\cos\theta)$となり、これを(1)に代入すると

$$\begin{array}{rcl} u-1&=&kz \\\\ &=& 2(1-\cos\theta)z \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} u &=& 1+ 2(1-\cos\theta)z \end{align}$$

となります。

$z=1(\cos\theta + i\sin\theta)$および、$\overline{z}=1(\cos\theta – i\sin\theta)$より、
$z+\overline{z} = 2\cos\theta$
つまり、$\cos\theta = \cfrac{z+\overline{z}}{2}$であり、これを(2)に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} u &=& 1 + 2(1-\cfrac{z+\overline{z}}{2})z \\\\ &=& 1 + 2(\cfrac{2-z-\overline{z}}{2})z \\\\ &=& 1 + (2z-z^2-\overline{z}z) \\\\ &=& 1 + (2z-z^2-|z|^2) \end{array}$$

ここで、$|z|^2=1$より、

$$\begin{array}{rcl} u &=& 1 + (2z-z^2-1) \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& 2z-z^2 \end{align}$$

となります。

$\cfrac{\overline w}{ w}$を求める

(3)の結果を、本問題における$ w$の定義に代入します。

$$\begin{array}{rcl} w &=& \cfrac{1}{1-u} \\\\ &=& \cfrac{1}{1-(2z-z^2)} \\\\ &=& \cfrac{1}{z^2-2z+1} \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& \cfrac{1}{(z-1)^2} \end{align}$$

よって、(4)より、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{\overline w}{ w} &=& \cfrac{ \overline{ \left\{ \cfrac{1}{(z-1)^2} \right\} } }{ \cfrac{1}{(z-1)^2} } \\\\ &=& \cfrac{ \cfrac{1}{(\overline{z}-1)^2} }{ \cfrac{1}{(z-1)^2} } \\\\ &=& \cfrac{ (z-1)^2 }{ (\overline{z}-1)^2 } \\\\ &=& \left( \cfrac{ z-1 }{ \overline{z}-1 } \right)^2 \end{array}$$

ここで、$z \overline{z} = |z|^2 = 1$より、$\overline{z} = \cfrac{1}{z}$なので、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{\overline w}{ w} &=& \left( \cfrac{ z-1 }{ \cfrac{1}{z} -1 } \right)^2 \\\\ &=& \left( \cfrac{ z(z-1) }{ 1 -z } \right)^2 \\\\ &=& (-z)^2 \\\\ &=& z^2 \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& z^2 \end{align}$$

となります。

$\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|}$を求める

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|} &=& \left|\cfrac{ w + \overline w -1}{ w} \right| \\\\ &=& \left|1 + \cfrac{\overline w}{ w} – \cfrac{1}{ w} \right| \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} \cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|} &=& \left|1 + \cfrac{\overline w}{ w} – \cfrac{1}{ w} \right| \\\\ &=& \left|1 + z^2 – (z-1)^2 \right| \\\\ &=& \left|1 + z^2 -z^2+2z-1 \right| \\\\ &=& \left|2z \right| \\\\ &=& 2\left|z \right| \\\\ &=& 2 \end{array}$$

となります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第5問(2)

$ w = x+yi$とし、$\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|}= 2$に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|} &=& 2 \\\\ \cfrac{|(x+yi) + (x-yi) -1|}{|x+yi|} &=& 2 \\\\ |2x -1| &=& 2|x+yi| \\\\ |2x -1| &=& 2\sqrt{x^2+y^2} \end{array}$$

両辺を二乗すると、

$$\begin{array}{rcl} 4x^2-4x+1 &=& 4(x^2+y^2) \\\\ -4x+1 &=& 4y^2 \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} x &=& -y^2 +\cfrac{1}{4} \end{align}$$

となります。

(4)より、

$$\begin{array}{rcl} arg ~ w &=& arg ~\cfrac{1}{(z-1)^2} \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} &=& -2arg ~(z-1) \end{align}$$

$P(z)$は上図の実線部分を動きます。このとき、$arg ~(z-1)$は次の条件を満たさなければならないことがわかります。

$$\begin{align} \cfrac{2\pi}{3} \leqq arg ~(z-1)　\leqq \cfrac{4\pi}{3} \end{align}$$

(7)を(8)に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{2\pi}{3} &\leqq& \cfrac{arg ~ w}{-2} \leqq \cfrac{4\pi}{3}　\\\\ -\cfrac{8\pi}{3} &\leqq& arg ~ w \leqq -\cfrac{4\pi}{3}　 \end{array}$$ $$\begin{align} -\cfrac{2\pi}{3} &\leqq& arg ~ w \leqq \cfrac{2\pi}{3}　 \end{align}$$

となります。

(6)と(9)より、$R( w)$の軌跡は$x = -y^2 +\cfrac{1}{4}$上の、偏角が$-\cfrac{2\pi}{3} \leqq arg ~ w \leqq \cfrac{2\pi}{3}$の部分となり、これを図示すると下図の実線部となります。