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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【東大の入試問題を解説!】2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問

東大の入試問題を解説

2018年度東大入試第5問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問(1)

マスマスターの思考回路

とりあえず、図をかいてから考えましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問

uを求める

上の図からOP ~//~ AQなので、|u-1|=k|z|を満たす実数kが存在します。

kの値は、

(1)   \begin{eqnarray*}$k&=&\cfrac{|u-1|}{|z|} \\\\&=&|u-1| \\\\\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

kを求めるために、点AからOPへ垂線OHをひきましょう。図は次のようになります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問

zの偏角を\thetaとすると、OH=\cos\thetaより、HP=1-\cos\thetaとなります。
よって、k=|u-1|=2HP=2(1-\cos\theta)となり、これを(1)に代入すると

(2)   \begin{eqnarray*}u-1&=&kz \\\\&=& 2(1-\cos\theta)z \\\\u &=& 1+ 2(1-\cos\theta)z\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

uzについての整式として表さなければならないので、\thetaを消去します。

z=1(\cos\theta + i\sin\theta)および、\overline{z}=1(\cos\theta - i\sin\theta)より、
z+\overline{z} = 2\cos\theta
つまり、\cos\theta = \cfrac{z+\overline{z}}{2}であり、これを(2)に代入すると、

    \begin{eqnarray*}u &=& 1 + 2(1-\cfrac{z+\overline{z}}{2})z \\\\&=& 1 + 2(\cfrac{2-z-\overline{z}}{2})z \\\\&=& 1 + (2z-z^2-\overline{z}z) \\\\&=& 1 + (2z-z^2-|z|^2) \\\\\end{eqnarray*}

ここで、|z|^2=1より、

(3)   \begin{eqnarray*}u &=& 1 + (2z-z^2-1) \\\\&=& 2z-z^2 \\\\\end{eqnarray*}

となります。

\cfrac{\overline w}{ w}を求める

マスマスターの思考回路

\cfrac{\overline w}{ w}を求める前にwを計算しておきましょう。


(3)の結果を、本問題におけるwの定義に代入します。

(4)   \begin{eqnarray*}w &=& \cfrac{1}{1-u} \\\\&=& \cfrac{1}{1-(2z-z^2)} \\\\&=& \cfrac{1}{z^2-2z+1} \\\\&=& \cfrac{1}{(z-1)^2} \\\\\end{eqnarray*}

よって、(4)より、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{\overline w}{ w} &=& \cfrac{ \overline{ \left\{ \cfrac{1}{(z-1)^2} \right\} } }{ \cfrac{1}{(z-1)^2} } \\\\&=& \cfrac{ \cfrac{1}{(\overline{z}-1)^2} }{ \cfrac{1}{(z-1)^2} } \\\\&=& \cfrac{ (z-1)^2 }{ (\overline{z}-1)^2 } \\\\&=& \left( \cfrac{ z-1 }{ \overline{z}-1 } \right)^2 \\\\\end{eqnarray*}

ここで、z \overline{z} = |z|^2 = 1より、\overline{z} = \cfrac{1}{z}なので、

(5)   \begin{eqnarray*}\cfrac{\overline w}{ w} &=& \left( \cfrac{ z-1 }{ \cfrac{1}{z} -1 } \right)^2 \\\\&=& \left( \cfrac{ z(z-1) }{ 1 -z } \right)^2 \\\\&=& (-z)^2 \\\\&=& z^2 \\\\\end{eqnarray*}

となります。

\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|}を求める

マスマスターの思考回路

まずは式を簡単にしましょう

    \begin{eqnarray*}\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|} &=& \left|\cfrac{ w + \overline w -1}{ w} \right| \\\\&=& \left|1 + \cfrac{\overline w}{ w} - \cfrac{1}{ w} \right| \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

\cfrac{\overline w}{ w}\cfrac{1}{ w}の値は、ここまでの結果からすでに求められています。
(4)と(5)の結果を代入しましょう。

    \begin{eqnarray*}\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|} &=& \left|1 + \cfrac{\overline w}{ w} - \cfrac{1}{ w} \right| \\\\&=& \left|1 + z^2 - (z-1)^2 \right| \\\\&=& \left|1 + z^2 -z^2+2z-1 \right| \\\\&=& \left|2z \right| \\\\&=& 2\left|z \right| \\\\&=& 2\\\\\end{eqnarray*}

となります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問(2)

マスマスターの思考回路

wの軌跡を求めるということなので、設問(1)の結果として求まった\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|}= 2を使います。
計算は多少複雑になりますが、複素数平面では複素数をx+yiとおく方法が万能です。
今回はこの方法で進めましょう。

w = x+yiとし、\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|}= 2に代入すると、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{| w + \overline w -1|}{| w|} &=& 2 \\\\\cfrac{|(x+yi) + (x-yi) -1|}{|x+yi|} &=& 2 \\\\|2x -1| &=& 2|x+yi| \\\\|2x -1| &=& 2\sqrt{x^2+y^2} \\\\\end{eqnarray*}

両辺を二乗すると、

(6)   \begin{eqnarray*}4x^2-4x+1 &=& 4(x^2+y^2) \\\\-4x+1 &=& 4y^2 \\\\x &=& -y^2 +\cfrac{1}{4} \\\\\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

R( w)x &=& -y^2 +\cfrac{1}{4}上に存在することがわかりました。
P(z)C'上を動くためには偏角に対する条件が設定されていなくてはなりません。
その条件により、arg ~ wがとりうる値の範囲がどうなるかを調べましょう。

(4)より、

(7)   \begin{eqnarray*}arg ~ w &=& arg ~\cfrac{1}{(z-1)^2} \\\\arg ~ w &=& -2arg ~(z-1) \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

P(z)C'上を動くとき(実部が\cfrac{1}{2}以下)のarg ~(z-1)がどのような値をとるか調べましょう。
図をかいてみます。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第5問

P(z)は上図の実線部分を動きます。このとき、arg ~(z-1)は次の条件を満たさなければならないことがわかります。

(8)   \begin{eqnarray*}\cfrac{2\pi}{3} \leqq arg ~(z-1) \leqq \cfrac{4\pi}{3} \\\\\end{eqnarray*}

(7)を(8)に代入すると、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{2\pi}{3} &\leqq& \cfrac{arg ~ w}{-2} \leqq \cfrac{4\pi}{3} \\\\-\cfrac{8\pi}{3} &\leqq& arg ~ w \leqq -\cfrac{4\pi}{3} \\\\\end{eqnarray*}

(9)   \begin{eqnarray*}-\cfrac{2\pi}{3} &\leqq& arg ~ w \leqq \cfrac{2\pi}{3} \\\\\end{eqnarray*}

となります。

(6)と(9)より、R( w)の軌跡はx = -y^2 +\cfrac{1}{4}上の、偏角が-\cfrac{2\pi}{3} &\leqq& arg ~ w \leqq \cfrac{2\pi}{3}の部分となり、これを図示すると下図の実線部となります。

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