【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する
- 命題
基礎知識
解法
2018年度東大入試第5問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。
マスマスターの思考回路
上の図からなので、
を満たす実数
が存在します。
の値は、
(1)
となります。
マスマスターの思考回路
を求めるために、点AからOPへ垂線OHをひきましょう。図は次のようになります。
の偏角を
とすると、
より、
となります。
よって、となり、これを(1)に代入すると
(2)
となります。
マスマスターの思考回路
は
についての整式として表さなければならないので、
を消去します。
および、
より、
つまり、であり、これを(2)に代入すると、
ここで、より、
(3)
となります。
マスマスターの思考回路
を求める前に
を計算しておきましょう。
(4)
よって、(4)より、
ここで、より、
なので、
(5)
となります。
マスマスターの思考回路
まずは式を簡単にしましょう
マスマスターの思考回路
と
の値は、ここまでの結果からすでに求められています。
(4)と(5)の結果を代入しましょう。
となります。
マスマスターの思考回路
の軌跡を求めるということなので、設問(1)の結果として求まった
を使います。
計算は多少複雑になりますが、複素数平面では複素数をとおく方法が万能です。
今回はこの方法で進めましょう。
とし、
に代入すると、
両辺を二乗すると、
(6)
となります。
(4)より、
(7)
マスマスターの思考回路
が
上を動くとき(実部が
以下)の
がどのような値をとるか調べましょう。
図をかいてみます。
は上図の実線部分を動きます。このとき、
は次の条件を満たさなければならないことがわかります。
(8)
(7)を(8)に代入すると、
(9)
となります。
(6)と(9)より、の軌跡は
上の、偏角が
の部分となり、これを図示すると下図の実線部となります。
-このサイトの記事を書いている人-
某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。
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とりあえず、図をかいてから考えましょう。