高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

解法

【東大の入試問題を解説!】2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

東大の入試問題を解説

2018年度東大入試第4問目を扱います。それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

マスマスターの思考回路

まずは条件1のことだけを考えます。
f(x)=bが異なる3つの実数解を持つためにはf(x)が極大値と極小値を持っている必要があります。
f(x)を微分して、f(x)極大値と極小値を持つための条件を求めましょう。

条件1について

f(x)を微分します。

    \begin{eqnarray*} f'(x) &=& 3x^2-3a^2 \\\\ &=& 3(x+a)(x-a) \end{eqnarray*}

f'(x)=0が異なる2つの実数解を持っていれば、f(x)が極大値f(-a)と極小値f(a)を持つことになります。
f'(x)=0の解はx=\pm aであり、問題文で与えられている条件からa>0なので、f'(x)=0は異なる2つの実数解を持つことがわかります。

マスマスターの思考回路

つまり、特別な条件を追加せずとも、f(x)は必ず極大値と極小値を持つということがわかりました。

f(x)=bが異なる3つの実数解を持つには、 極小値<b<極大値 の条件を満たしていれば良いので、

(1)   \begin{eqnarray*} f(a)&<&b<~~f(-a) \\ -2a^3&<&b<~~2a^3 \\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

ここまでで条件1の処理は完了となります。
引き続き条件2を考えましょう。
f(x)=bが異なる3つの実数解を持ち、その実数解を\alpha < \beta < \gamma とするということなので、これを一度図にしてみましょう。\beta > 1はその後で考えれば良いでしょう。

条件2について

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

マスマスターの思考回路

x=1を図に追加したいのですが、\alphaと1の大小関係がわからない現状では、x=1を図に追加することができません。他にx座標についてわかっていることはf(x)が極値をとるときのxの値(x= \pm a)ですのでこれを図に追加しましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

マスマスターの思考回路

a>0つまり-a<0であることから、\alpha < -a < 1 < \betaの大小関係が成立することがわかります。
x=1を図に加えましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

マスマスターの思考回路

問題文で与えられた条件\beta>1はすでに図に反映させていますので、条件2に記述されていた内容はすべて処理済みです。

問題ではabの動きうる範囲を問われているので、この状態でabに対して成立している事柄を洗い出していきましょう。

今はx=1を図に追加した状態なので、1とabに対して成立する関係を求めれば良いでしょう。

y軸方向については、f(1)>bが成立していることがわかります。つまり、

(2)   \begin{eqnarray*} 1-3a^2>b \\ \end{eqnarray*}

であり、x軸方向については、-a<1<aが成立していることがわかります。つまり、

(3)   \begin{eqnarray*} 1<a \end{eqnarray*}

となります。

新たに求められた条件は(1)から(3)の3つです。これを下にまとめます。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} -2a^3 < b < 2a^3 \\\\ b<1-3a^2 \\\\ 1<a \end{cases} \end{eqnarray*}

この条件を満たすa, bを図示していきましょう。

結果を図示します

マスマスターの思考回路

図示する際には、各関数の位置関係を正確に把握している必要があります。
まず、b=-2a^3b=2a^3については原点でのみ交点を持つことは明らかなので、とりあえずこの二つの関数だけ図示してみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

マスマスターの思考回路

a>0の範囲で、b=1-3a^2b=2a^3と1つの交点を持つことは明らかですが、b=-2a^3と交点を持つかどうかがわかりません。交点が存在するかどうかを求めましょう。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} b=1-3a^2 \\ b=-2a^3 \\ \end{cases} \end{eqnarray*}

を解きましょう。

    \begin{eqnarray*} 1-3a^2&=&-2a^3 \\ 2a^3-3a^2+1&=&0 \\ (a-1)(2a^2-a-1)&=&0 \\ (a-1)(a-1)(2a+1)&=&0 \\ a&=&1, 1, -\cfrac{1}{2} \\ \end{eqnarray*}

b=1-3a^2b=-2a^3a=1で重解を持つことがわかりましたので、この二つの関数はa=1で交わります。
b=1-3a^2を図に追加しましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

a>1であるので、(a, b)の動きうる範囲は、

a > 1 かつ、 -2a^3 < b < 1-3a^2であり、これを図示すると、上図の斜線部となります。(境界線は含まない)

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-解法
-