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【極限】指数関数の極限値

【極限】指数関数の極限値

ここでは、下の有名な指数関数の極限値の証明を行います。

指数関数の極限値

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

指数関数の極限値の証明

対数関数の極限値の式より、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

が成立し、1+x=e^t とおくと、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\log(e^t)}{e^t - 1} &=& 1 \\\\  \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t\log e}{e^t - 1} &=& 1 \\\\  \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

分母と分子を入れ替え、txに置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} &=& 1 \\\\  \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

【公式】覚えておくべき有名な極限値のまとめ

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