基礎知識

等比数列とその一般項

2019.10.24

ここでは等比数列とは何か、式としてどう表すかといったところの説明を行います。

等差数列については下の記事を参考にしてください。

等差数列とその一般項

1 等比数列とは
2 等比数列の初項・交比
3 等比数列の一般項
4 等比数列とその一般項の説明のおわりに

等比数列とは

一定の数を次々にかけて得られる数列を等比数列といいます。

マスマスターの思考回路

このあたりは言葉で説明するよりも、実例を見た方がわかりやすいかと思います。

次に等比数列の例をいくつか挙げてみましょう。

等比数列の例

次のような数列はすべて等比数列であるといえます。

例1

$\begin{eqnarray*} 2, 4, 8, 16, ... \end{eqnarray*}$

例2

$\begin{eqnarray*} 3, 9, 27, 81, ... \end{eqnarray*}$

例3

$\begin{eqnarray*} 4, 4, 4, 4, ... \end{eqnarray*}$

マスマスターの思考回路

例1では2ずつ、例2では3ずつ、例3では1ずつ、一定の数を次々にかけて得られる数を並べたものとなっています。このような数列を等比数列といいます。

等比数列の初項・交比

ここまでで、等比数列がどのようなものであるかは理解できたかと思います。

次は等比数列がどう作られるかについて考えましょう。

等比数列を一意に決定する要素として、次の二点が挙げられます。

最初の数が何か
数をいくつずつかけるか

例えば、最初の数を2, かけていく数を3としましょう。
このとき、次の等比数列が得られます。

$\begin{eqnarray*} 2, 6, 18, 54, ... \end{eqnarray*}$

つまり、最初の数と加えていく数を決めれば、等比数列が具体的に決まるということになりますね。

この最初の数を初項、加えていく数を交比といい、上の数列は、初項 2、交比 3 の等比数列であると言います。

等比数列の一般項

一般項とは数列の第 $n$ 番目が何になるかを意味するものです。

先の例の数列を $\{a_n\}$ とおくと、

$\begin{eqnarray*} \{a_n\} : 2, 6, 18, 54, ... \end{eqnarray*}$

であり、 $a_1$ から $a_4$ までを書き下すと、

$\begin{eqnarray*} a_1 &=& 2　\\\\ a_2 &=& 6 \\\\ a_3 &=& 18 \\\\ a_4 &=& 54 \\\\ \end{eqnarray*}$

となりますが、ここで $a_2$ が $6$ であるのは、 $a_1 (= 2)$ に対し、交比である $3$ を1回かけたからです。

同様に、 $a_3$ は交比を2回、 $a_4$ は交比を3回かけたものになりますので、それがわかるように書き下し直すと、

$\begin{eqnarray*} a_1 &=& 2 * 3^0　\\\\ a_2 &=& 2 * 3^1　\\\\ a_3 &=& 2 * 3^2　\\\\ a_4 &=& 2 * 3^3　\\\\ \end{eqnarray*}$

となります。

マスマスターの思考回路

$a_1$ は交比を0回かけたものと考えています。
上のように書くと数字の規則性が見えてくるでしょう。

0乗の値は1となりますが、これについては指数法則を参照してください。

$a$ の添字から1を引いた値が交比にかけられていることがわかるので、この等比数列の第 $n$ 番目である $a_n$ は、

$\begin{eqnarray*} a_n &=& 2 * 3^{n-1}　\\\\ \end{eqnarray*}$

と表すことができます。

そして、上式の2と3はそれぞれ初項と交比を意味しています。

ここまでの結果を一般化すると、等比数列 $a_n$ の一般項は次のように与えられることとなります。

初項 $a$ 、交比 $r$ の等比数列の一般項は

$\begin{eqnarray*} a_n &=& ar^{n-1}　\\\\ \end{eqnarray*}$