高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

等比数列とその一般項

等比数列の一般項

ここでは等比数列とは何か、式としてどう表すかといったところの説明を行います。

等差数列については下の記事を参考にしてください。

等差数列とその一般項

等比数列とは

一定の数を次々にかけて得られる数列を等比数列といいます。

マスマスターの思考回路

このあたりは言葉で説明するよりも、実例を見た方がわかりやすいかと思います。

次に等比数列の例をいくつか挙げてみましょう。

等比数列の例

次のような数列はすべて等比数列であるといえます。

例1

    \begin{eqnarray*} 2, 4, 8, 16, ... \end{eqnarray*}

例2

    \begin{eqnarray*} 3, 9, 27, 81,  ... \end{eqnarray*}

例3

    \begin{eqnarray*} 4, 4, 4, 4,  ... \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

例1では2ずつ、例2では3ずつ、例3では1ずつ、一定の数を次々にかけて得られる数を並べたものとなっています。このような数列を等比数列といいます。

等比数列の初項・交比

ここまでで、等比数列がどのようなものであるかは理解できたかと思います。

次は等比数列がどう作られるかについて考えましょう。

等比数列を一意に決定する要素として、次の二点が挙げられます。

  1. 最初の数が何か
  2. 数をいくつずつかけるか

例えば、最初の数を2, かけていく数を3としましょう。
このとき、次の等比数列が得られます。

    \begin{eqnarray*} 2, 6, 18, 54, ... \end{eqnarray*}

つまり、最初の数と加えていく数を決めれば、等比数列が具体的に決まるということになりますね。

この最初の数を初項、加えていく数を交比といい、上の数列は、初項 2、交比 3 の等比数列であると言います。

等比数列の一般項

一般項とは数列の第 n 番目が何になるかを意味するものです。

先の例の数列を \{a_n\} とおくと、

    \begin{eqnarray*} \{a_n\} : 2, 6, 18, 54, ... \end{eqnarray*}

であり、 a_1 から a_4 までを書き下すと、

    \begin{eqnarray*} a_1 &=& 2 \\\\ a_2 &=& 6 \\\\ a_3 &=& 18 \\\\ a_4 &=& 54 \\\\ \end{eqnarray*}

となりますが、ここで a_26 であるのは、 a_1 (= 2) に対し、交比である 3 を1回かけたからです。

同様に、a_3 は交比を2回、a_4 は交比を3回かけたものになりますので、それがわかるように書き下し直すと、

    \begin{eqnarray*} a_1 &=& 2 * 3^0 \\\\ a_2 &=& 2 * 3^1 \\\\ a_3 &=& 2 * 3^2 \\\\ a_4 &=& 2 * 3^3 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

a_1 は交比を0回かけたものと考えています。
上のように書くと数字の規則性が見えてくるでしょう。

0乗の値は1となりますが、これについては指数法則を参照してください。

a の添字から1を引いた値が交比にかけられていることがわかるので、この等比数列の第 n 番目である a_n は、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& 2 * 3^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

と表すことができます。

そして、上式の2と3はそれぞれ初項と交比を意味しています。

ここまでの結果を一般化すると、等比数列 a_n の一般項は次のように与えられることとなります。

初項 a 、交比 r の等比数列の一般項は

    \begin{eqnarray*} a_n &=& ar^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

等比数列とその一般項の説明のおわりに

いかがでしたか?

等差数列の一般項が理解できていれば、等比数列についても同様に理解できたことと思います。

基本的な数列は、等差数列と等比数列の二種の数列になりますので、これらの知識を用いてさらに先の内容に進んで行きましょう。

【数列】数列のまとめ

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