基礎知識

数列にはいくつかの種類の数列がありますが、最も基本的な数列は等差数列であると言えるでしょう。

ここでは等差数列とは何か、式としてどう表すかといったところの説明を行います。

等比数列については下の記事を参照してください。

等比数列とその一般項

等差数列とは

等差数列の例

次のような数列はすべて等差数列であるといえます。

例1

$$\begin{array}{rcl} 2, 4, 6, 8, … \end{array}$$

例2

$$\begin{array}{rcl} 3, 6, 9, 12, … \end{array}$$

例3

$$\begin{array}{rcl} 4, 4, 4, 4, … \end{array}$$

等差数列の初項・交差

ここまでで、等差数列がどのようなものであるかは理解できたかと思います。

次は等差数列がどう作られるかについて考えましょう。

等差数列を一意に決定する要素として、次の二点が挙げられます。

例えば、最初の数を2, 加えていく数を3としましょう。
このとき、次の等差数列が得られます。

$$\begin{array}{rcl} 2, 5, 8, 11, … \end{array}$$

つまり、最初の数と加えていく数を決めれば、等差数列が具体的に決まるということになりますね。

この最初の数を初項、加えていく数を交差といい、上の数列は、初項 2、交差 3 の等差数列であると言います。

等差数列の一般項

一般項とは数列の第 $n$ 番目が何になるかを意味するものです。

先の例の数列を $\{a_n\}$ とおくと、

$$\begin{array}{rcl} \{a_n\} : 2, 5, 8, 11, … \end{array}$$

であり、 $a_1$ から $a_4$ までを書き下すと、

$$\begin{array}{rcl} a_1 &=& 2　\\\\ a_2 &=& 5 \\\\ a_3 &=& 8 \\\\ a_4 &=& 11 \\\\ \end{array}$$

となりますが、ここで $a_2$ が $5$ であるのは、 $a_1 (= 2)$ に対し、交差である $3$ を1回追加したからです。

同様に、$a_3$ は交差を2回、$a_4$ は交差を3回足したものになりますので、それがわかるように書き下し直すと、

$$\begin{array}{rcl} a_1 &=& 2 + 3 * 0　\\\\ a_2 &=& 2 + 3 * 1\\\\ a_3 &=& 2 + 3 * 2 \\\\ a_4 &=& 2 + 3 * 3\\\\ \end{array}$$

となります。

$a$ の添字から1を引いた値が交差にかけられていることがわかるので、この等差数列の第 $n$ 番目である $a_n$ は、

$$\begin{array}{rcl} a_n &=& 2 + 3 * (n-1)　\\\\ \end{array}$$

と表すことができます。

そして、上式の2と3はそれぞれ初項と交差を意味しています。

ここまでの結果を一般化すると、等差数列 $a_n$ の一般項は次のように与えられることとなります。

等差数列とその一般項の説明のおわりに

いかがでしたか？

一般項という言葉にはあまり馴染みがないかもしれませんが、関数と同じようなものと考えると理解しやすいでしょう。

例えば $f(x) = 2x$ という関数は、数列でいうところの一般項に対応し、 $f(1) = 2, f(2) = 4$ といった具体的な計算結果はそれぞれ、数列でいうところの $a_1, a_2$ に対応するといった具合です。

まだ基礎の段階ですので、まずは初項、交差、一般項といった言葉をしっかり覚えておきましょう。

【数列】数列のまとめ