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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

等差数列とその一般項

等差数列の一般項

数列にはいくつかの種類の数列がありますが、最も基本的な数列は等差数列であると言えるでしょう。

ここでは等差数列とは何か、式としてどう表すかといったところの説明を行います。

等比数列については下の記事を参照してください。

等比数列とその一般項

等差数列とは

一定の数を次々に加えて得られる数列を等差数列といいます。

マスマスターの思考回路

このあたりは言葉で説明するよりも、実例を見た方がわかりやすいかと思います。

次に等差数列の例をいくつか挙げてみましょう。

等差数列の例

次のような数列はすべて等差数列であるといえます。

例1

    \begin{eqnarray*} 2, 4, 6, 8, ... \end{eqnarray*}

例2

    \begin{eqnarray*} 3, 6, 9, 12,  ... \end{eqnarray*}

例3

    \begin{eqnarray*} 4, 4, 4, 4,  ... \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

例1では2ずつ、例2では3ずつ、例3では0ずつ、一定の数を次々に加えて得られる数を並べたものとなっています。このような数列を等差数列といいます。

等差数列の初項・交差

ここまでで、等差数列がどのようなものであるかは理解できたかと思います。

次は等差数列がどう作られるかについて考えましょう。

等差数列を一意に決定する要素として、次の二点が挙げられます。

  1. 最初の数が何か
  2. 数をいくつずつ加えるか

例えば、最初の数を2, 加えていく数を3としましょう。
このとき、次の等差数列が得られます。

    \begin{eqnarray*} 2, 5, 8, 11, ... \end{eqnarray*}

つまり、最初の数と加えていく数を決めれば、等差数列が具体的に決まるということになりますね。

この最初の数を初項、加えていく数を交差といい、上の数列は、初項 2、交差 3 の等差数列であると言います。

等差数列の一般項

一般項とは数列の第 n 番目が何になるかを意味するものです。

先の例の数列を \{a_n\} とおくと、

    \begin{eqnarray*} \{a_n\} : 2, 5, 8, 11, ... \end{eqnarray*}

であり、 a_1 から a_4 までを書き下すと、

    \begin{eqnarray*} a_1 &=& 2 \\\\ a_2 &=& 5 \\\\ a_3 &=& 8 \\\\ a_4 &=& 11 \\\\ \end{eqnarray*}

となりますが、ここで a_25 であるのは、 a_1 (= 2) に対し、交差である 3 を1回追加したからです。

同様に、a_3 は交差を2回、a_4 は交差を3回足したものになりますので、それがわかるように書き下し直すと、

    \begin{eqnarray*} a_1 &=& 2 + 3 * 0 \\\\ a_2 &=& 2 + 3 * 1\\\\ a_3 &=& 2 + 3 * 2 \\\\ a_4 &=& 2 + 3 * 3\\\\ \end{eqnarray*}

となります。

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a_1 は交差を0回足したものと考えています。
上のように書くと数字の規則性が見えてくるでしょう。

a の添字から1を引いた値が交差にかけられていることがわかるので、この等差数列の第 n 番目である a_n は、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& 2 + 3 * (n-1) \\\\ \end{eqnarray*}

と表すことができます。

そして、上式の2と3はそれぞれ初項と交差を意味しています。

ここまでの結果を一般化すると、等差数列 a_n の一般項は次のように与えられることとなります。

初項 a 、交差 d の等差数列の一般項は

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a + (n-1)d \\\\ \end{eqnarray*}

等差数列とその一般項の説明のおわりに

いかがでしたか?

一般項という言葉にはあまり馴染みがないかもしれませんが、関数と同じようなものと考えると理解しやすいでしょう。

例えば f(x) = 2x という関数は、数列でいうところの一般項に対応し、 f(1) = 2, f(2) = 4 といった具体的な計算結果はそれぞれ、数列でいうところの a_1, a_2 に対応するといった具合です。

まだ基礎の段階ですので、まずは初項、交差、一般項といった言葉をしっかり覚えておきましょう。

【数列】数列のまとめ

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