公式

複素数を扱うことのメリットの一つとして、簡単に回転を扱えるようになるという点は大きいでしょう。
なぜ複素数によって、回転を扱うことができるのでしょうか？

今回は複素数の回転ついて説明していきたいと思います。

極形式で表された複素数の積と商の公式

極形式で表現された複素数に対し、次の式が成立します。

極形式で表された複素数の積の式の証明

絶対値を$r_1, r_2$ 、偏角を$\theta_1, \theta_2$とし、極形式で表現した二つの複素数$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$の積を考えます。

$z_1z_2 \\$
$= r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) \\$
$= r_1r_2(\cos \theta_1\cos \theta_2 + i\cos \theta_1\sin \theta_2 + i\sin \theta_1\cos \theta_2 – \sin \theta_1\sin \theta_2) \\$
$= r_1r_2((\cos \theta_1\cos \theta_2 – \sin \theta_1\sin \theta_2) + i(\sin \theta_1\cos \theta_2 + \cos \theta_1\sin \theta_2) )$

ここで加法定理より、

$$\begin{array}{rcl} \cos(\theta_1 + \theta_2) &=& \cos \theta_1\cos \theta_2 – \sin \theta_1\sin \theta_2 \\\\ \sin(\theta_1 + \theta_2) &=& \sin \theta_1\cos \theta_2 + \cos \theta_1\sin \theta_2 \end{array}$$

が成り立つので、

となります。

これを実際に図で見てみましょう。

極形式で表された複素数の商の式の証明

次は割り算の場合を考えます。実際に計算してみましょう。

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} \\\\ &=& \cfrac{r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)(\cos \theta_2 – i\sin \theta_2)}{r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)(\cos \theta_2 – i\sin \theta_2)} \\\\ &=& \cfrac{r_1 (\cos \theta_1 \cos \theta_2 – i\cos \theta_1 \sin \theta_2 + i\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) }{r_2(\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2)} \\\\ &=& \cfrac{r_1 ( (\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 – \cos \theta_1 \sin \theta_2 ) ) }{r_2} \end{array}$$

ここで加法定理より、

$$\begin{array}{rcl} \cos(\theta_1 – \theta_2) &=& \cos \theta_1\cos \theta_2 + \sin \theta_1\sin \theta_2 \\\\ \sin(\theta_1 – \theta_2) &=& \sin \theta_1\cos \theta_2 – \cos \theta_1\sin \theta_2 \end{array}$$

が成り立つので、

となります。

以上から、

が成り立つことが証明されました。

【基礎知識】複素数平面のまとめ