解法

2018年度東大入試第4問目を扱います。それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第4問

条件1について

$f(x)$を微分します。

$$\begin{array}{rcl} f'(x) &=& 3x^2-3a^2 \\\\ &=& 3(x+a)(x-a) \end{array}$$

$f'(x)=0$が異なる2つの実数解を持っていれば、$f(x)$が極大値$f(-a)$と極小値$f(a)$を持つことになります。
$f'(x)=0$の解は$x=\pm a$であり、問題文で与えられている条件から$a>0$なので、$f'(x)=0$は異なる2つの実数解を持つことがわかります。

$f(x)=b$が異なる3つの実数解を持つには、　極小値$<b<$極大値　の条件を満たしていれば良いので、

$$\begin{array}{rcl} f(a)&<&b<~~f(-a) \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} -2a^3&<&b<~2a^3 \end{align}$$

となります。

条件2について

$y$軸方向については、$f(1)>b$が成立していることがわかります。つまり、

$$\begin{align} 1-3a^2>b \\ \end{align}$$

であり、$x$軸方向については、$-a<1<a$が成立していることがわかります。つまり、

$$\begin{align} 1 < a \end{align}$$

となります。

新たに求められた条件は(1)から(3)の3つです。これを下にまとめます。

$$\begin{array}{rcl} \begin{cases} -2a^3 < b < 2a^3 \\\\ b < 1-3a^2 \\\\ 1 < a \end{cases} \end{array}$$

この条件を満たす$a, b$を図示していきましょう。

結果を図示します

$$\begin{array}{rcl} \begin{cases} b=1-3a^2　\\\\ b=-2a^3 \end{cases} \end{array}$$

を解きましょう。

$$\begin{array}{rcl} 1-3a^2&=&-2a^3　\\\\ 2a^3-3a^2+1&=&0　\\\\ (a-1)(2a^2-a-1)&=&0　\\\\ (a-1)(a-1)(2a+1)&=&0　\\\\ a&=&1, 1, -\cfrac{1}{2} \end{array}$$

$b=1-3a^2$と$b=-2a^3$は$a=1$で重解を持つことがわかりましたので、この二つの関数は$a=1$で交わります。
$b=1-3a^2$を図に追加しましょう。

$a>1$であるので、$(a, b)$の動きうる範囲は、

$a > 1$　かつ $-2a^3 < b < 1-3a^2$ であり、これを図示すると上図の黒い斜線部となります。（境界線は含まない）