公式

積分の1/6公式は、被積分関数が2次関数である積分計算を素早く行うための公式です。

積分計算は通常それなりの労力がかかるものですが、この1/6公式を用いるとあっという間に計算することができます。
使用頻度も高い公式ですのでぜひ使えるようにしておきましょう。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式とは

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の証明

$ \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx \\$
$= \int_{\alpha}^{\beta} x^2 -(\alpha + \beta)x + \alpha \beta ~dx \\$
$= \left[　\cfrac{x^3}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{x^2}{2} + \alpha \beta x　\right]_{\alpha}^{\beta} \\$
$= \cfrac{\beta^3 – \alpha^3}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{\beta^2 – \alpha^2}{2} + \alpha \beta (\beta – \alpha) \\$
$= \cfrac{(\beta – \alpha)(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2)}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{(\beta – \alpha)(\beta + \alpha)}{2} + \alpha \beta (\beta – \alpha) \\$
$= (\beta – \alpha)\{ \cfrac{(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2)}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{(\beta + \alpha)}{2} + \alpha \beta \} \\$
$= (\beta – \alpha)\{ \cfrac{2(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2)}{6} -(\alpha + \beta)\cfrac{3(\beta + \alpha)}{6} + \cfrac{6}{6}~\alpha \beta \} \\$
$= \cfrac{(\beta – \alpha)}{6} \{ 2(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2) – 3(\beta + \alpha )^2 + 6\alpha \beta \} \\$
$= \cfrac{(\beta – \alpha)}{6} \{ 2\beta^2 + 2\beta\alpha + 2\alpha^2 – 3\beta^2 – 6\beta \alpha – 3\alpha^2 + 6\alpha \beta \} \\$
$= \cfrac{(\beta – \alpha)}{6} ( -\beta^2 + 2\alpha \beta – \alpha^2 ) \\$
$= -\cfrac{(\beta – \alpha)}{6} ( \beta^2 – 2\alpha \beta + \alpha^2 ) \\$
$= -\cfrac{(\beta – \alpha)}{6} ( \beta – \alpha )^2 \\$
$= -\cfrac{(\beta – \alpha)^3}{6} \\$

以上により、

が証明されました。

別解

厳密には数学3で学習する内容となりますが、次の式が成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl} \int (x-a)^n ~dx &=& \cfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C \\\\ \end{array}$$

$ \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx \\$
$ =\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha){(x-\alpha)+(\alpha-\beta)} ~dx \\$
$ =\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 + (x-\alpha)(\alpha-\beta) ~dx \\$
$ = [\cfrac{(x-\alpha)^3}{3} ]{\alpha}^{\beta} + (\alpha-\beta)[\cfrac{(x-\alpha)^2}{2}]{\alpha}^{\beta} \\$
$ = \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} + (\alpha-\beta)\cfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} \\$
$ = \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} – (\beta – \alpha)\cfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} \\$
$ = \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} – \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{2} \\$
$ = (\beta-\alpha)^3 (~\cfrac{1}{3} – \cfrac{1}{2}~ ) \\$
$ = -\cfrac{(\beta – \alpha)^3}{6} \\$

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の使い所

1/6公式は下図のように、2次以下の2つの関数によって囲まれた部分の面積を求めるような場合に使うことができます。

実際に例題を解いてみましょう。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の例題

上図により求める面積は、

$$\begin{array}{rcl} && \int_{-2}^{3} (x+8) – (2x^2-x-4) ~dx \\\\ &=& \int_{-2}^{3} x+8-2x^2+x+4 ~dx \\\\ &=& \int_{-2}^{3} -2x^2+2x+12 ~dx \\\\ &=& -2 \int_{-2}^{3} x^2-x-6 ~dx \\\\ &=& -2 \int_{-2}^{3} (x+2)(x-3) ~dx \\\\ &=& -2 \int_{-2}^{3} (x-(-2))(x-3) ~dx \\\\ &=& -2 \left( -\cfrac{\{3 – (-2)\}^3}{6} \right) \\\\ &=& -2 \left( -\cfrac{5^3}{6} \right) \\\\ &=& \cfrac{125}{3} \\\\ \end{array}$$

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の説明のおわりに

いかがでしたか？

関数によって囲まれた部分の面積を求める問題は頻出です。
1/6公式を使えるようにしておくことで大きく計算量を減らすことができますので、しっかり練習しておきましょう。

【数2】積分の各種公式の証明

【数II】微分法と積分法のまとめ