基礎知識

ここでは等比数列とは何か、式としてどう表すかといったところの説明を行います。

等差数列については下の記事を参考にしてください。

等差数列とその一般項

等比数列とは

等比数列の例

次のような数列はすべて等比数列であるといえます。

例1

$$\begin{array}{rcl} 2, 4, 8, 16, … \end{array}$$

例2

$$\begin{array}{rcl} 3, 9, 27, 81, … \end{array}$$

例3

$$\begin{array}{rcl} 4, 4, 4, 4, … \end{array}$$

等比数列の初項・交比

ここまでで、等比数列がどのようなものであるかは理解できたかと思います。

次は等比数列がどう作られるかについて考えましょう。

等比数列を一意に決定する要素として、次の二点が挙げられます。

例えば、最初の数を2, かけていく数を3としましょう。
このとき、次の等比数列が得られます。

$$\begin{array}{rcl} 2, 6, 18, 54, … \end{array}$$

つまり、最初の数と加えていく数を決めれば、等比数列が具体的に決まるということになりますね。

この最初の数を初項、加えていく数を交比といい、上の数列は、初項 2、交比 3 の等比数列であると言います。

等比数列の一般項

一般項とは数列の第 $n$ 番目が何になるかを意味するものです。

先の例の数列を $\{a_n\}$ とおくと、

$$\begin{array}{rcl} \{a_n\} : 2, 6, 18, 54, … \end{array}$$

であり、 $a_1$ から $a_4$ までを書き下すと、

$$\begin{array}{rcl} a_1 &=& 2　\\\\ a_2 &=& 6 \\\\ a_3 &=& 18 \\\\ a_4 &=& 54 \\\\ \end{array}$$

となりますが、ここで $a_2$ が $6$ であるのは、 $a_1 (= 2)$ に対し、交比である $3$ を1回かけたからです。

同様に、$a_3$ は交比を2回、$a_4$ は交比を3回かけたものになりますので、それがわかるように書き下し直すと、

$$\begin{array}{rcl} a_1 &=& 2 * 3^0　\\\\ a_2 &=& 2 * 3^1　\\\\ a_3 &=& 2 * 3^2　\\\\ a_4 &=& 2 * 3^3　\\\\ \end{array}$$

となります。

$a$ の添字から1を引いた値が交比にかけられていることがわかるので、この等比数列の第 $n$ 番目である $a_n$ は、

$$\begin{array}{rcl} a_n &=& 2 * 3^{n-1}　\\\\ \end{array}$$

と表すことができます。

そして、上式の2と3はそれぞれ初項と交比を意味しています。

ここまでの結果を一般化すると、等比数列 $a_n$ の一般項は次のように与えられることとなります。

等比数列とその一般項の説明のおわりに

いかがでしたか？

等差数列の一般項が理解できていれば、等比数列についても同様に理解できたことと思います。

基本的な数列は、等差数列と等比数列の二種の数列になりますので、これらの知識を用いてさらに先の内容に進んで行きましょう。

【数列】数列のまとめ