解法

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［II］
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［II］(1)

与えられた二直線と曲線をそれぞれ$l, m, C$とします。

まずは$l, m$を図に表します。

$$\begin{array}{rcl} x-y+1=0 \\\\ 3x+y-5=0 \end{array}$$

を$y$について解くと、

$$\begin{array}{rcl} y&=&x+1 \\\\ y&=&-3x+5 \end{array}$$

となります。これを図にすると、下のようになります。

$x^2+2x+4y+5=0$に、$y=x+1$を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} x^2+2x+4(x+1)+5&=&0 \\\\ x^2+6x+9 &=& 0 \\\\ (x+3)^2 &=& 0 \\\\ x &=& -3 \end{array}$$

$x=-3$を$y=x+1$に代入すると、$y=-2$となり、$l$と$C$の交点は、$(-3, -2)$となります。

$x^2+2x+4y+5=0$に、$y=-3x+5$を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} x^2+2x+4(-3x+5)+5&=&0 \\\\ x^2-10x+25 &=& 0 \\\\ (x-5)^2 &=& 0 \\\\ x &=& 5 \end{array}$$

$x=5$を$y=-3x+5$に代入すると、$y=-10$となり、$m$と$C$の交点は、$(5, -10)$となります。

$$\begin{array}{rcl} x-y+1=0 \\\\ 3x+y-5=0 \end{array}$$

を解くと、$x=1, y=2$より、$l, m$の交点は$(1, 2)$となります。

また$C$を$y$について解くと、

$$\begin{array}{rcl} y&=&-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{4} \end{array}$$

となるので、求める面積は、

$ \int_{-3}^1 (x+1) – (-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{4}) dx + \int_{1}^5 (-3x+5) – (-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{4}) dx \\$
$= \int_{-3}^1 \cfrac{1}{4}x^2 + \cfrac{3}{2}x + \cfrac{9}{4} dx + \int_{1}^5 \cfrac{1}{4}x^2 -\cfrac{5}{2}x + \cfrac{25}{4} dx \\$
$= \int_{-3}^1 \cfrac{1}{4}(x^2 + 6x + 9) dx + \int_{1}^5 \cfrac{1}{4}(x^2 -10x +25) dx \\$
$= \int_{-3}^1 \cfrac{1}{4}(x+3)^2 dx + \int_{1}^5 \cfrac{1}{4}(x-5)^2 dx \\$
$= \cfrac{1}{4} \left[ \int_{-3}^1 (x+3)^2 dx + \int_{1}^5 (x-5)^2 dx \right]\\$
$= \cfrac{1}{4} \left[ \cfrac{1}{3} \left[ (x+3)^3 \right]^{1}_{-3} + \cfrac{1}{3} \left[ (x-5)^3 \right]^{5}_{1} \right]\\$
$= \cfrac{1}{12} \left[ (4^3 – 0) + (0-(-4)^3) \right]\\$
$= \cfrac{1}{2^2\cdot3 } \left[2\cdot4^3\right] \\$
$= \cfrac{1}{2^2\cdot3 } \left[2^7\right] \\$
$= \cfrac{2^5}{3 } \\$
$= \cfrac{32}{3 }$

となります。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［II］(2)

上図より、

$$\begin{array}{rcl} (a, b) &=& (0, 0), (0, -1), \\\\ &&(1, 1), (1, 0), (1, -1), \\\\ &&(2, -2), (2, -3) \end{array}$$

の7個となります。