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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【早稲田大学の入試問題を解説!】2018年度入試 基幹理工・創造理工・先進理工 数学[II]

早稲田の数学入試問題を解説

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[II]
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[II]

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[II](1)

マスマスターの思考回路

まずは図をかきましょう。
与えられた式では概形がわからないため、yについて解きます。

曲線については直線といくつの交点を持つか不明ですので、まずは直線だけを図にし状況を進展させましょう。

与えられた二直線と曲線をそれぞれl, m, Cとします。

まずはl, mを図に表します。

    \begin{eqnarray*} x-y+1=0 \\\\ 3x+y-5=0 \\\\ \end{eqnarray*}

yについて解くと、

    \begin{eqnarray*} y&=&x+1 \\\\ y&=&-3x+5 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。これを図にすると、下のようになります。

2018年度入試 基幹理工・創造理工・先進理工 数学[II]

マスマスターの思考回路

この図に曲線を追加したいのですが、平方完成して概形を求める方法では曲線と直線の位置関係がわかりません。先に曲線と直線の交点を求めましょう。

x^2+2x+4y+5=0に、y=x+1を代入すると、

    \begin{eqnarray*} x^2+2x+4(x+1)+5&=&0 \\\\ x^2+6x+9 &=& 0 \\\\ (x+3)^2 &=& 0 \\\\ x &=& -3 \\\\ \end{eqnarray*}

x=-3y=x+1に代入すると、y=-2となり、lCの交点は、(-3, -2)となります。

x^2+2x+4y+5=0に、y=-3x+5を代入すると、

    \begin{eqnarray*} x^2+2x+4(-3x+5)+5&=&0 \\\\ x^2-10x+25 &=& 0 \\\\ (x-5)^2 &=& 0 \\\\ x &=& 5 \\\\ \end{eqnarray*}

x=5y=-3x+5に代入すると、y=-10となり、mCの交点は、(5, -10)となります。

マスマスターの思考回路

Cl, mにともに接する曲線であることがわかりました。
上記二つの交点でCl, mに接するような概形になればよいということからCを図に追加することができます。
図は次のようになります。

2018年度入試 基幹理工・創造理工・先進理工 数学[II]

マスマスターの思考回路

l, m, Cで囲まれた部分は曲線部分が存在しているので、積分によって面積を求めます。
このとき、直線l, mの交点を境にして被積分関数が変わりますので、交点座標を求めておきましょう。

    \begin{eqnarray*} x-y+1=0 \\\\ 3x+y-5=0 \\\\ \end{eqnarray*}

を解くと、x=1, y=2より、l, mの交点は(1, 2)となります。

マスマスターの思考回路

これによりx=1で積分区間を分割して面積を求めればいいということになりますね。

またCyについて解くと、

    \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{4} \\\\ \end{eqnarray*}

となるので、求める面積は、

    \begin{eqnarray*} && \int_{-3}^1 (x+1) - (-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{4}) dx + \int_{1}^5 (-3x+5) - (-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{4}) dx \\\\ &=& \int_{-3}^1 \cfrac{1}{4}x^2 + \cfrac{3}{2}x + \cfrac{9}{4} dx + \int_{1}^5 \cfrac{1}{4}x^2 -\cfrac{5}{2}x + \cfrac{25}{4} dx \\\\ &=& \int_{-3}^1 \cfrac{1}{4}(x^2 + 6x + 9) dx + \int_{1}^5 \cfrac{1}{4}(x^2 -10x +25) dx \\\\ &=& \int_{-3}^1 \cfrac{1}{4}(x+3)^2 dx + \int_{1}^5 \cfrac{1}{4}(x-5)^2 dx \\\\ &=& \cfrac{1}{4} \left[ \int_{-3}^1 (x+3)^2 dx + \int_{1}^5 (x-5)^2 dx \right]\\\\ &=& \cfrac{1}{4} \left[ \cfrac{1}{3} \left[ (x+3)^3 \right]_{-3}^1 + \cfrac{1}{3} \left[ (x-5)^3 \right]_{1}^5 \right]\\\\ &=& \cfrac{1}{12} \left[ (4^3 - 0) + (0-(-4)^3) \right]\\\\ &=& \cfrac{1}{2^2\cdot3 } \left[2\cdot4^3\right] \\\\ &=& \cfrac{1}{2^2\cdot3 } \left[2^7\right] \\\\ &=& \cfrac{2^5}{3 } \\\\ &=& \cfrac{32}{3 } \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[II](2)

マスマスターの思考回路

該当する(a, b)の個数はたかが知れているので、しらみつぶしに求めていけばよいでしょう。
l, m, Cの境界部分でx座標が整数であるものを求め、図に追加していきます。

2018年度入試 基幹理工・創造理工・先進理工 数学[II](2)

上図より、

    \begin{eqnarray*} (a, b) &=& (0, 0), (0, -1), \\\\ &&(1, 1), (1, 0), (1, -1), \\\\ &&(2, -2), (2, -3) \\\\ \end{eqnarray*}

の7個となります。

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