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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

解法

【東大の入試問題を解説!】2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

東大の入試問題を解説

2018年度東大入試第3問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

マスマスターの思考回路

まずは問題を把握するために、図をかいてみましょう

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

マスマスターの思考回路

PもQも動く点なので、このPとQのベクトルの和によって定義される点Rも動きます。

k \overrightarrow{OQ}はx軸に平行ですので、k \overrightarrow{OQ}は点Rをx軸方向に平行移動させるベクトルであるということがわかります。

平行移動させる対象(\cfrac{1}{k}  \overrightarrow{OP}によって定義される点)自体がどこにあるかわかっていないので、どの程度平行移動させるかは今は考える必要はありません。
平行移動させる対象がどこにあるかがわからなければ、平行移動先の点もわからないからです。

よって、今はQを無視します。

つまり、\overrightarrow{OR} = \cfrac{1}{k}  \overrightarrow{OP} であるものとして考えるということです。
そして、このときのRがどこにあるか(つまりRの軌跡)を求めましょう。

\cfrac{1}{k}  \overrightarrow{OP}によって定義される点の軌跡を求めます。

仮にP(p, p^2)と設定しているので、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{1}{k}  \overrightarrow{OP} &=& \cfrac{1}{k}  (p, p^2) \\&=&  (\cfrac{p}{k}, \cfrac{p^2}{k}) \\\end{eqnarray*}

より、

(1)   \begin{eqnarray*}x &=& \cfrac{p}{k} \\\end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*}y &=& \cfrac{p^2}{k} \\\end{eqnarray*}

とおきます。(1)より、

(3)   \begin{eqnarray*}p &=& kx \\\end{eqnarray*}

また、-1 \leqq p \leqq 1と(3)より、

(4)   \begin{eqnarray*}- \cfrac{1}{k} \leqq x \leqq \cfrac{1}{k} \\\end{eqnarray*}

(2)に(3)を代入すると、

(5)   \begin{eqnarray*}y &=& \cfrac{k^2x^2}{k} \\\\&=& kx^2 \\\end{eqnarray*}

(4)と(5)より、\cfrac{1}{k}  \overrightarrow{OP}によって定義される点の軌跡は、

(6)   \begin{eqnarray*}y &=& kx^2 ~~~~ (- \cfrac{1}{k} \leqq x \leqq \cfrac{1}{k})\\\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

平行移動させる対象(\cfrac{1}{k}  \overrightarrow{OP}によって定義される点)の軌跡がわかったので、今まで無視していたQのことを考えられる状態となっています。Qについて考えましょう。

仮にQ(q, 0)と設定しているので、

(7)   \begin{eqnarray*}k \overrightarrow{OQ} &=& k(q, 0)\\\\&=& (kq, 0)\\\end{eqnarray*}

A(1, 0)であり、Qは線分OA上を動くので、0 \leqq q \leqq 1 より、0 \leqq kq \leqq kです。これと(7)より、
k \overrightarrow{OQ}は、x軸方向に最小で0、最大でkだけ平行移動させるベクトルです。

つまり、(6)の軌跡をx軸方向にkだけ平行移動させたときに通過する領域に点Rが存在し、その領域の面積が問題で問われているS(k)になります。

(6)をx軸方向にkだけ平行移動させた関数は、

(8)   \begin{eqnarray*}y &=& k(x - k )^2 \\\end{eqnarray*}

となります。

ここまでを図示してみましょう。まずは(6)の関数です。下の図のようになります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

ここに(8)のグラフも追加していきます。

kの値について場合分けを行う

マスマスターの思考回路

(6)の関数の定義域は- \cfrac{1}{k} \leqq x \leqq \cfrac{1}{k}ですので、(8)の関数の頂点が定義域内に含まれているときと、そうでないときに分けた方が良さそうです。

(8)の関数の頂点(k, 0)が定義域内に含まれているときは、k < \cfrac{1}{k}が成立するときなので、これを解くと、

    \begin{eqnarray*}-1 < k < 1 \\ \end{eqnarray*}

また、k > 0であることを合わせて、

    \begin{eqnarray*}0 < k < 1 \\\end{eqnarray*}

となります。

0 < k < 1のとき

図は下のようになります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

斜線部分がS(k)を意味しています。
斜線部はx=\cfrac{k}{2}において対称なので、求める面積S(k)は、

    \begin{eqnarray*}S(k) &=& 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^k kx^2 dx +\int_k^{\frac{1}{k}} kx^2 -k(x -k)^2 dx +\int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} - k(x -k)^2 dx\right ] \\\\&=& 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k}} kx^2 dx -\int_k^{\frac{1}{k} + k} k(x -k)^2 dx +\int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k}dx\right ] \\\\&=& 2 \left [\cfrac{k}{3} \left(\cfrac{1}{k^3} - \cfrac{k^3}{8} \right) -\cfrac{k}{3} \left\{ ( \cfrac{1}{k} + k - k )^3 - (k-k)^3 \right\} +\cfrac{1}{k} \left\{ (\cfrac{1}{k} + k) - ( \cfrac{1}{k} ) \right\}\right ] \\\\&=& 2 \left [\cfrac{k}{3} \left(\cfrac{1}{k^3} - \cfrac{k^3}{8} \right) -\cfrac{k}{3} \left (\cfrac{1}{k^3} \right ) + \cfrac{1}{k} \left(k \right)\right ] \\\\&=& 2 \left [- \cfrac{k^4}{24} + 1\right ] \\\\&=& 2 - \cfrac{k^4}{12} \\\\\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

次は 1 \leqq k のときを考えますが、kが増加していくと、y=k(x-k)^2のグラフは無限にx軸の正の方向に動いていきます。
その過程で -\cfrac{1}{k} + k\cfrac{1}{k}の大小関係が逆転するので、これについて場合分けを行いましょう。
-\cfrac{1}{k} + k < \cfrac{1}{k}を満たすk(k \geqq 1)は、1 \leqq k < \sqrt 2となります。
次はこの場合を考えましょう。

1 \leqq k < \sqrt 2のとき

図は下のようになります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

このときも、斜線部分はx=\cfrac{k}{2}において対称なので、求める面積S(k)は、

    \begin{eqnarray*}S(k) &=& 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k}} kx^2 dx +\int_{\frac{1}{k}}^k \frac{1}{k} dx +\int_k^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} - k(x -k)^2 dx\right ] \\\\&=& 2 \left [\cfrac{k}{3} ( \cfrac{1}{k^3} - \cfrac{k^3}{8} ) +\int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k}+k} \frac{1}{k} dx -\cfrac{k}{3} \left\{ ( \cfrac{1}{k} +k-k)^3 - (k-k)^3 \right\}\right ] \\\\&=& 2 \left [\cfrac{k}{3} ( \cfrac{1}{k^3} - \cfrac{k^3}{8} ) +\frac{1}{k} (\frac{1}{k} + k-\frac{1}{k}) - \frac{k}{3} (\cfrac{1}{k^3} )\right ] \\\\&=& 2 \left [- \cfrac{k^4}{24} + 1\right ] \\\\&=& 2 - \cfrac{k^4}{12} \\\\\end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

0 < k < 1のときと同じ結果になってしまいましたので、実際には場合分けする必要はなかったのかもしれません。とりあえず結果は求められたので良しとしましょう

\sqrt 2 \leqq kのとき

図は次のようになります。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第3問

このときも、斜線部分はx=\cfrac{k}{2}において対称なので、求める面積S(k)は、

    \begin{eqnarray*}S(k) &=& 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^k \frac{1}{k} dx +\int_k^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} - k(x-k)^2 dx\right ] \\\\&=& 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} dx -\cfrac{k}{3} \left\{ ( \cfrac{1}{k}+k-k)^3-(k-k)^3 \right\}\right ] \\\\&=& 2 \left [\cfrac{1}{k} \left\{( \cfrac{1}{k} +k)-\cfrac{k}{2} \right\} -\cfrac{k}{3} (\cfrac{1}{k^3})\right ] \\\\&=& 2 \left [\cfrac{1}{k} \left( \cfrac{1}{k} + \cfrac{k}{2} \right) - \cfrac{1}{3k^2}\right ] \\\\&=& 2 \left( \cfrac{1}{k^2} + \cfrac{1}{2} -\cfrac{1}{3k^2} \right) \\&=& 2 \left( \cfrac{2}{3k^2} + \cfrac{1}{2} \right) \\&=& \cfrac{4}{3k^2} + 1 \\\\\end{eqnarray*}

となります。

場合分け結果をまとめると

    \begin{eqnarray*}S(k) = \begin{cases}2 - \cfrac{k^4}{12} & (0 < k < \sqrt 2) \\\\\cfrac{4}{3k^2} + 1 & (\sqrt 2 \leqq k) \\\\\end{cases}\end{eqnarray*}

となります。

極限値は、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{k \to +0} S(k) &=& \displaystyle \lim_{k \to +0} 2 - \cfrac{k^4}{12} = 2 \\\\ \displaystyle \lim_{k \to \infty} S(k) &=& \displaystyle \lim_{k \to \infty} \cfrac{4}{3k^2} + 1 = 1 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

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