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公式

【数列】等差数列の和の公式の証明

等差数列の和の公式

ここでは、等差数列の和の公式の証明を行います。

等差数列の和の公式

等差数列a_n=a + (n-1)dの初項から第n項までの和S_nは、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{ n\{2a + (n-1)d \} }{2} \\\\ \end{eqnarray*}

等差数列a_nの末項をlとすると、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{ n(a+l) }{2} \\\\ \end{eqnarray*}

等差数列の和の公式の証明

S_nは、等差数列a_n=a + (n-1)dの初項から第n項までの和として定義しているので、

(1)   \begin{eqnarray*}S_n &=& a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\\\&=& (a) + (a+d) + \cdots + \{a+(n-2)d\} + \{a+(n-1)d\} \\\\\end{eqnarray*}

(1)式の右辺を逆順に並び替えると、

(2)   \begin{eqnarray*} S_n &=& \{a+(n-1)d\} + \{a+(n-2)d\} + \cdots + (a+d) + (a) \\\\ \end{eqnarray*}

(1)式と(2)式を足すと、

    \begin{eqnarray*}2S_n &=& \{2a+(n-1)d\} + \{2a+(n-1)d\} + \cdots \\\\ && + \{2a+(n-1)d\} + \{2a+(n-1)d\} \\\\\end{eqnarray*}

上式の右辺は、\{2a+(n-1)d\}n回足したものになるので、

    \begin{eqnarray*}2S_n &=& n\{2a+(n-1)d\}\\\\\end{eqnarray*}

よって、

(3)   \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{ n\{2a+(n-1)d\} }{2}\\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、S_nは等差数列a_n=a + (n-1)dの初項から第n項までの和であり、このときのa_nの末項lは、

(4)   \begin{eqnarray*}l = a_n = a+(n-1)d\end{eqnarray*}

と表されます。

(3)式より、

    \begin{eqnarray*}S_n &=& \cfrac{ n\{a + a +(n-1)d\} }{2}\\\\\end{eqnarray*}

となり、上式に(4)式を代入すると、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{ n(a + l) }{2}\\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

等差数列a_n=a + (n-1)dの初項から第n項までの和S_nは、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{ n\{2a + (n-1)d \} }{2} \\\\ \end{eqnarray*}

等差数列a_nの末項をlとすると、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{ n(a+l) }{2} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数列】数列のまとめ

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