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公式

【数列】階差数列を用いて一般項を求める公式の証明

階差数列を用いて一般項を求める公式

ここでは、階差数列を用いて一般項を求める公式の証明を行います。

階差数列とは

数列a_nの隣り合う2項の差

    \begin{eqnarray*} $b_n = a_{n+1} -a_n$ \end{eqnarray*}

で定義される数列b_nを数列a_n階差数列といいます。

階差数列を用いて一般項を求める公式

数列a_nの階差数列をb_nとし、n \geqq 2のとき、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\\\ \end{eqnarray*}

階差数列を用いて一般項を求める公式の証明

a_nの階差数列b_na_nの隣り合う2項の差なので、a_nは2項以上存在していないとb_nを定義することができません。
よって、

(1)   \begin{eqnarray*}n \geqq 2\end{eqnarray*}

である必要があります。

b_n = a_{n+1} -a_nn=1, 2, \cdots , nを代入すると、

    \begin{eqnarray*}b_1 &=& a_2 -a_1 \\\\b_2 &=& a_3 -a_2 \\\\b_3 &=& a_4 -a_3 \\\cdot \\\cdot \\\cdot \\b_n &=& a_{n+1} -a_n \\\\\end{eqnarray*}

上式を全て足すと、

    \begin{eqnarray*}b_1 + b_2 + b_3 + \cdots b_n &=& a_{n+1} -a_1 \\\\\end{eqnarray*}

左辺を\sumを使ってまとめると、

    \begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^n b_k &=& a_{n+1} -a_1 \\\\\end{eqnarray*}

a_{n+1}について解くと、

    \begin{eqnarray*}a_{n+1} &=& a_1 + \sum_{k=1}^n b_k \\\\\end{eqnarray*}

n+1nに置き換えると、

(2)   \begin{eqnarray*}a_{n} &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\\\\end{eqnarray*}

(1), (2)式により、

数列a_nの階差数列をb_nとし、n \geqq 2のとき、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【数列】数列のまとめ

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