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基礎知識

【極限】対数関数の発散速度

対数関数の発散速度

ここでは、\cfrac{\infty}{\infty} の不定形の極限の中でも特に重要な、対数関数と多項式関数の極限の題材を扱います。

対数関数の極限

対数関数の発散速度は多項式関数のそれよりも小さく、次の式が成立します。

    \begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cfrac{(\log x)^n}{x} &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

対数関数の極限の証明

指数関数の発散速度は多項式関数のそれよりも大きいことから、

    \begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cfrac{x^n}{e^x} &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ち、上式において、e^x=yとおくと、x=\log y なので、

    \begin{eqnarray*} \lim_{y \to \infty} \cfrac{(\log y)^n}{y} &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

yx に置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cfrac{(\log x)^n}{x} &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cfrac{(\log x)^n}{x} &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

対数関数の極限の説明の終わりに

本記事で説明した対数関数の極限は、その証明に用いた指数関数の極限の式と本質的に同じものです。

対数関数は指数関数の逆関数ですから、指数関数の発散速度が多項式関数のそれよりも大きいことを認めた場合には、対数関数のそれが小さくなることは想像に難くありませんね。また、

    \begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cfrac{(\log x)^n}{x} &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

という式は暗記する必要はなく、無限大のときには対数関数は多項式関数よりもはるかに小さいということを覚えておくようにしましょう。

また記述式回答において、証明せずにこの極限値を使うことは減点の対象となる可能性がありますので注意してください。

【公式】覚えておくべき有名な極限値のまとめ

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