解法

2018年度東大入試第3問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第3問

$\cfrac{1}{k} \overrightarrow{OP}$によって定義される点の軌跡を求めます。

仮に$P(p, p^2)$と設定しているので、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{k} 　\overrightarrow{OP}　&=& \cfrac{1}{k} 　(p, p^2)　\\\\ &=& (\cfrac{p}{k}, \cfrac{p^2}{k})　 \end{array}$$

より、

$$\begin{align} x &=& \cfrac{p}{k} \end{align}$$ $$\begin{align} y &=& \cfrac{p^2}{k} \end{align}$$

とおきます。（１）より、

$$\begin{align} p &=& kx \end{align}$$

また、$-1 \leqq p \leqq 1$と(3)より、

$$\begin{align} – \cfrac{1}{k} \leqq x \leqq \cfrac{1}{k} \end{align}$$

(2)に(3)を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} y &=& \cfrac{k^2x^2}{k} \end{array}$$ $$\begin{align} &=& kx^2 \end{align}$$

(4)と(5)より、$\cfrac{1}{k} 　\overrightarrow{OP}$によって定義される点の軌跡は、

$$\begin{align} y &=& kx^2 ~~~~ (- \cfrac{1}{k} \leqq x \leqq \cfrac{1}{k}) \end{align}$$

となります。

仮に$Q(q, 0)$と設定しているので、

$$\begin{array}{rcl} k \overrightarrow{OQ} &=& k(q, 0) \end{array}$$ $$\begin{align} &=& (kq, 0) \end{align}$$

A(1, 0)であり、Qは線分OA上を動くので、$0 \leqq q \leqq 1$　より、$0 \leqq kq \leqq k$です。これと(7)より、
$k \overrightarrow{OQ}$は、x軸方向に最小で0、最大でkだけ平行移動させるベクトルです。

つまり、(6)の軌跡をx軸方向にkだけ平行移動させたときに通過する領域に点Rが存在し、その領域の面積が問題で問われている$S(k)$になります。

(6)をx軸方向にkだけ平行移動させた関数は、

$$\begin{align} y &=& k(x – k )^2　 \end{align}$$

となります。

ここまでを図示してみましょう。まずは(6)の関数です。下の図のようになります。

ここに(8)のグラフも追加していきます。

kの値について場合分けを行う

(8)の関数の頂点(k, 0)が定義域内に含まれているときは、$k < \cfrac{1}{k}$が成立するときなので、これを解くと、

$$\begin{array}{rcl} -1 < k < 1 \end{array}$$

また、$k > 0$であることを合わせて、

$$\begin{array}{rcl} 0 < k < 1 \end{array}$$

となります。

$0 < k < 1$のとき

図は下のようになります。

斜線部分が$S(k)$を意味しています。
斜線部は$x=\cfrac{k}{2}$ において対称なので、求める面積$S(k)$は、

$S(k) \\$
$= 2 \left [ \int_{\frac{k}{2}}^k kx^2 dx + \int_k^{\frac{1}{k}} kx^2 -k(x -k)^2 dx + \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} – k(x -k)^2 dx \right ] \\$
$= 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k}} kx^2 dx – \int_k^{\frac{1}{k} + k} k(x -k)^2 dx + \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k}dx\right ] \\$
$= 2 \left [\cfrac{k}{3} \left(\cfrac{1}{k^3} – \cfrac{k^3}{8} \right) -\cfrac{k}{3} \left\{ ( \cfrac{1}{k} + k – k )^3 – (k-k)^3 \right\} +\cfrac{1}{k} \left\{ (\cfrac{1}{k} + k) – ( \cfrac{1}{k} ) \right\}\right ] \\$
$= 2 \left [\cfrac{k}{3} \left(\cfrac{1}{k^3} – \cfrac{k^3}{8} \right) – \cfrac{k}{3} \left (\cfrac{1}{k^3} \right ) + \cfrac{1}{k} \left(k \right)\right ] \\$
$= 2 \left [\cfrac{k^4}{24} + 1\right ] \\$
$= 2 – \cfrac{k^4}{12}$

となります。

$ 1 \leqq k < \sqrt 2$のとき

図は下のようになります。

このときも、斜線部分は$x=\cfrac{k}{2}$において対称なので、求める面積$S(k)$は、

$S(k) \\$
$= 2 \left [\int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k}} kx^2 dx + \int_{\frac{1}{k}}^k \frac{1}{k} dx + \int_k^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} – k(x -k)^2 dx \right ] \\$
$= 2 \left [\cfrac{k}{3} ( \cfrac{1}{k^3} – \cfrac{k^3}{8} ) + \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{1}{k}+k} \frac{1}{k} dx – \cfrac{k}{3} \left\{ ( \cfrac{1}{k} +k-k)^3 – (k-k)^3 \right\} \right ] \\$
$= 2 \left [\cfrac{k}{3} ( \cfrac{1}{k^3} – \cfrac{k^3}{8} ) + \frac{1}{k} (\frac{1}{k} + k-\frac{1}{k}) – \frac{k}{3} (\cfrac{1}{k^3} )\right ] \\$
$= 2 \left [- \cfrac{k^4}{24} + 1\right ] \\$
$= 2 – \cfrac{k^4}{12}$

となります。

$ \sqrt 2 \leqq k $のとき

図は次のようになります。

このときも、斜線部分は$x=\cfrac{k}{2}$において対称なので、求める面積$S(k)$は、

$S(k) \\$
$= 2 \left [ \int_{\frac{k}{2}}^k \frac{1}{k} dx + \int_k^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} – k(x-k)^2 dx \right ] \\$
$= 2 \left [ \int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k} + k} \frac{1}{k} dx – \cfrac{k}{3} \left\{ ( \cfrac{1}{k}+k-k)^3-(k-k)^3 \right\} \right ] \\$
$= 2 \left [ \cfrac{1}{k} \left\{( \cfrac{1}{k} +k)-\cfrac{k}{2} \right\} -\cfrac{k}{3} (\cfrac{1}{k^3}) \right ] \\$
$= 2 \left [\cfrac{1}{k} \left( \cfrac{1}{k} + \cfrac{k}{2} \right) – \cfrac{1}{3k^2} \right ] \\$
$= 2 \left( \cfrac{1}{k^2} + \cfrac{1}{2} -\cfrac{1}{3k^2} \right) \\$
$= 2 \left( \cfrac{2}{3k^2} + \cfrac{1}{2} \right) \\$
$= \cfrac{4}{3k^2} + 1$

となります。

場合分け結果をまとめると

$$\begin{array}{rcl} S(k) = \begin{cases} 2 – \cfrac{k^4}{12} & (0 < k < \sqrt 2) \\\\ \cfrac{4}{3k^2} + 1 & (\sqrt 2 \leqq k) \end{cases} \end{array}$$

となります。

極限値は、

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle　\lim_{k \to +0} S(k) &=& \displaystyle　\lim_{k \to +0} 2 – \cfrac{k^4}{12} = 2 \\\\ \displaystyle　\lim_{k \to \infty} S(k) &=& \displaystyle　\lim_{k \to \infty} \cfrac{4}{3k^2} + 1 = 1 \end{array}$$

となります。