学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【基礎】図形と方程式のまとめ

ここでは数学2の「図形と方程式」についてまとめています。

中学校までの図形問題では、補助線を引くことやひらめきが必要となる部分が多かったと思いますが、高校数学では計算によって解決していく場面が多くなります。
計算内容は複雑になることが多く、高度な計算力が必要とされることもあるでしょう。

しかしそれは逆に言えば、計算さえしてしまえば答えが求まるということを意味しています。

ひらめきが要求される部分が少なくなるので、その意味では「むしろとっつきやすい」と感じられる方も多くいらっしゃるのではないでしょうか？

それでは、各種公式についての説明を行っていきましょう。

1節　点と直線

直線上の点

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平面上の点

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二点間距離の公式

点A(x_1, y_1)と点B(x_2, y_2)間の距離ABは、次の式によって求められます。

    \begin{eqnarray*} AB = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{eqnarray*}

x 軸または y 軸に平行な二点の間の距離は、単純に座標の引き算をすれば求めることが出来ます。
しかし、 x 軸にも y 軸にも平行でない二点についてはそこまで簡単には求めることができませんので、この二点間距離の公式を利用しましょう。

【図形と方程式】二点間距離の公式の証明

直線の方程式

中学数学では、 y=ax+b に x 座標と y 座標を代入し、 a, b を計算することにより直線の方程式を求めていたかと思います。

しかし、高校数学ではいちいちそのような計算を行わず、直線の方程式は公式を用いて求めることができるようになります。

直線の方程式は分野によらず広く用いられ、使う機会は非常に多くなりますので、ぜひ使いこなせるようにしておきましょう。

1点を通る直線の方程式

点 (x_1, y_1) を通る傾き a の直線の方程式

    \begin{eqnarray*} y = a(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

2点を通る直線の方程式

点 (x_1, y_1), (x_2, y_2) を通る直線の方程式

    \begin{eqnarray*} y = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

【図形と方程式】直線の方程式について

2直線の関係

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2節　円

円の方程式

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円と直線

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3節　軌跡と領域

軌跡と方程式

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不等式の表す領域

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図形と方程式のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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図形と方程式

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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