基礎知識

ある確率を求める際には、そのことが起きる全ての場合を考えるということが基本となります。

「全ての場合」を対象としますので、その全ての場合というものが現実的に数えられる程度の物量でなくては、全てを数えあげることはできないと言えるでしょう。

しかし、その「全ての場合」が多ければ多いほど、余事象を用いることによって楽に確率を求めることができます。

ここでは余事象の基本的な考え方と、実例を紹介していきます。

余事象とは

ある事象$A$に対し$A$が起こらないという事象を$A$の余事象といいます。
余事象の確率は次の式によって求めることができます。

余事象の確率の説明

全事象を$U$とすると、確率の最大値は$1$なので$P(U)=1$となります。
全事象に含まれる部分的な事象を$A$とするとき、全事象内のそれ以外の事象が余事象$\overline{A}$となります。

これを図にすると下のようになります。

上図について、赤色の部分が事象Aが発生する確率$P(A)$を意味しており、黒枠内の赤色でない部分が余事象の確率$P(\overline{A})$を意味します。
この二つの部分を合わせるとちょうど黒枠部になることから、

$$\begin{array}{rcl} P(A) + P(\overline{A}) &=& P(U) \\\\ &=& 1 \end{array}$$

となり、上式を$\overline{A}$について解くと、

が成り立ちます。

余事象の確率の例題

次の例題を考えましょう。

余事象を利用せずに、互いに排反な反復試行の確率と捉えて確率を求めようとすると、

${}_{10} \mathrm{C}_ {1} \left(\cfrac{1}{2}\right)^{1} \left(\cfrac{1}{2}\right)^{9} + {}_{10} \mathrm{C} _{2} \left(\cfrac{1}{2}\right)^{2} \left(\cfrac{1}{2}\right)^{8} + \cdots + {}_{10} \mathrm{C} _{10} \left(\cfrac{1}{2}\right)^{10} \left(\cfrac{1}{2}\right)^{0}$

となります。

余事象を利用して確率を求めると、

$$\begin{array}{rcl} 1 – \left(\cfrac{1}{2}\right)^{10} \end{array}$$

となります。

余事象を用いた確率を計算していくと、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{2^{10} – 1}{2^{10}} &=& \cfrac{1024 – 1}{1024} \\\\ &=& \cfrac{1023}{1024} \\\\ \end{array}$$

となります。

余事象の説明の終わりに

いかかでしたか？

ある確率は、それが起こらない確率を求めることによって求めることができる、という事が余事象を用いた確率の意味するところになります。

直接的に確率を求める方法と、余事象を利用して確率を求める方法のどちらが楽かを判断したうえで、確率の問題に取り組みましょう。

【確率】場合の数と確率のまとめ