公式

ここでは、階差数列を用いて一般項を求める公式の証明を行います。

階差数列とは

数列$a_n$の隣り合う2項の差

$$\begin{array}{rcl} b_n = a_{n+1} -a_n \end{array}$$

で定義される数列$b_n$を数列$a_n$の階差数列といいます。

階差数列を用いて一般項を求める公式

階差数列を用いて一般項を求める公式の証明

$a_n$の階差数列$b_n$は$a_n$の隣り合う2項の差なので、$a_n$は2項以上存在していないと$b_n$を定義することができません。
よって、

$$\begin{align} n \geqq 2 \end{align}$$

である必要があります。

$b_n = a_{n+1} -a_n$に$n=1, 2, \cdots , n$を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} b_1 &=& a_2 -a_1 \\\\ b_2 &=& a_3 -a_2 \\\\ b_3 &=& a_4 -a_3 \\\\ \cdot \\\\ \cdot \\\\ \cdot \\\\ b_n &=& a_{n+1} -a_n \end{array}$$

上式を全て足すと、

$$\begin{array}{rcl} b_1 + b_2 + b_3 + \cdots b_n &=& a_{n+1} -a_1 \end{array}$$

左辺を$\sum$を使ってまとめると、

$$\begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^n b_k &=& a_{n+1} -a_1 \end{array}$$

$a_{n+1}$について解くと、

$$\begin{array}{rcl} a_{n+1} &=& a_1 + \sum_{k=1}^n b_k \end{array}$$

$n+1$を$n$に置き換えると、

$$\begin{align} a_{n} &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \end{align}$$

(1), (2)式により、

が成り立つことが証明されました。

【数列】数列のまとめ