学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【数列】階差数列を用いて一般項を求める公式の証明

ここでは、階差数列を用いて一般項を求める公式の証明を行います。

階差数列とは

数列a_nの隣り合う2項の差

    \begin{eqnarray*} $b_n = a_{n+1} -a_n$ \end{eqnarray*}

で定義される数列b_nを数列a_nの階差数列といいます。

階差数列を用いて一般項を求める公式

数列a_nの階差数列をb_nとし、n \geqq 2のとき、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\\\ \end{eqnarray*}

階差数列を用いて一般項を求める公式の証明

a_nの階差数列b_nはa_nの隣り合う2項の差なので、a_nは2項以上存在していないとb_nを定義することができません。
よって、

(1)   \begin{eqnarray*}n \geqq 2\end{eqnarray*}

である必要があります。

b_n = a_{n+1} -a_nにn=1, 2, \cdots , nを代入すると、

    \begin{eqnarray*}b_1 &=& a_2 -a_1 \\\\b_2 &=& a_3 -a_2 \\\\b_3 &=& a_4 -a_3 \\\cdot \\\cdot \\\cdot \\b_n &=& a_{n+1} -a_n \\\\\end{eqnarray*}

上式を全て足すと、

    \begin{eqnarray*}b_1 + b_2 + b_3 + \cdots b_n &=& a_{n+1} -a_1 \\\\\end{eqnarray*}

左辺を\sumを使ってまとめると、

    \begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^n b_k &=& a_{n+1} -a_1 \\\\\end{eqnarray*}

a_{n+1}について解くと、

    \begin{eqnarray*}a_{n+1} &=& a_1 + \sum_{k=1}^n b_k \\\\\end{eqnarray*}

n+1をnに置き換えると、

(2)   \begin{eqnarray*}a_{n} &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\\\\end{eqnarray*}

(1), (2)式により、

数列a_nの階差数列をb_nとし、n \geqq 2のとき、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【数列】数列のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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