学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【数列】等比数列の和の公式の証明

ここでは、等比数列の和の公式の証明を行います。

等比数列の和の公式

等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和S_nは、

r \neq 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\\\ \end{eqnarray*}

r = 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& na \\\\ \end{eqnarray*}

等比数列の和の公式の証明

S_nは、等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和として定義しているので、

(1)   \begin{eqnarray*}S_n &=& a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\\\&=& ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1} \\\\\end{eqnarray*}

(1)式をr倍すると、

(2)   \begin{eqnarray*}rS_n &=& ~~~~~~~~~~~~ ar^1 + ar^2 + \cdots + ar^{n} \\\\\end{eqnarray*}

となります。(1)式から(2)式を引くと、

    \begin{eqnarray*}S_n - rS_n &=& ar^0 - ar^{n} \\\\(1-r)S_n &=& a(1 - r^{n}) \\\\\end{eqnarray*}

r \neq 1のとき、上式を(1-r)で割ると、

(3)   \begin{eqnarray*}S_n &=& \cfrac{a(1 - r^{n})}{(1-r)} \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

r = 1のとき、(1)式より、

    \begin{eqnarray*}S_n &=& ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1} \\\\&=& a + a + \cdots + a \\\\\end{eqnarray*}

上式はaをn回足したものになるので、

(4)   \begin{eqnarray*}S_n &=& na \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和S_nは、

r \neq 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\\\ \end{eqnarray*}

r = 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& na \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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