学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【数列・極限】無限等比級数の和の公式

無限等比級数の和の公式は、等比数列の和の公式の理解が必要になりますので、まずはそちらをしっかり理解しておきましょう。

【数列】等比数列の和の公式の証明

無限等比級数の和とは

等比数列の第n項までの和（これを部分和といいます）の、n \to \inftyのときの極限を無限等比級数の和といいます。

無限等比級数の和の公式

等比数列a_n=ar^{n-1}に対する無限等比級数の和は、

|r| < 1のとき、収束し、一定の値 \cfrac{a}{1-r} をとる。

|r| \geqq 1のとき、発散する。

無限等比級数の和の公式の証明

等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和S_nは、

r \neq 1のとき、等比数列の和の公式より

    \begin{eqnarray*}S_n &=& \cfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\\\\end{eqnarray*}

と表されます。

|r| < 1のとき、

1より小さい数は、かければかけるほど小さくなるので

    \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} r^n &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

このとき無限等比級数の和は収束しその値は、

    \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}S_n &=& \cfrac{a(1-0)}{1-r} \\\\ &=& \cfrac{a}{1-r} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

|r| > 1のとき、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty} r^n \\\\\end{eqnarray*}

は発散しますので、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty}S_n \\\\\end{eqnarray*}

も発散します。

r = 1のとき、

等比数列の和の公式により、部分和は

    \begin{eqnarray*}S_n &=& na \\\\\end{eqnarray*}

であり、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty}　na \\\\\end{eqnarray*}

は発散しますので、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty}S_n \\\\\end{eqnarray*}

も発散します。

以上により、

等比数列a_n=ar^{n-1}に対する無限等比級数の和は、

|r| < 1のとき、収束し、一定の値 \cfrac{a}{1-r} をとる。

|r| \geqq 1のとき、発散する。

が証明されました。

【数III】関数と極限のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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