学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【基礎】接弦定理の証明

接弦定理は、円に内接する三角形と円の接線によって作られる角に関する定理です。

円周角の定理と同様に公式として覚えるようなものではなく、パッと見でこの角とこの角は等しいと思えるようになることが重要です。

接弦定理とは

接弦定理とは次のことを言います。

下図のような円に内接する \triangle{ABC} と点 C を通る円の接線において、

接弦定理とは
図. 1

    \begin{eqnarray*} \angle BAC &=& \angle BCD \end{eqnarray*}

が成り立つ。

接弦定理の証明

∠BACが鋭角のとき

図. 1をもとに、 CE を直径とした円に内接する \triangle{BCE} を考えます。

∠BACが鋭角のときの接弦定理の証明
図. 2

EC （直径）に対する円周角と、円の接線は円の中心と接点を結ぶ線分と垂直に交わることから、

(1)   \begin{eqnarray*} \angle ECF = \angle CBE = 90^\circ \end{eqnarray*}

円周角の定理より、

(2)   \begin{eqnarray*} \angle BAC = \angle BEC \end{eqnarray*}

\triangle{BCE} の内角の和より、

(3)   \begin{eqnarray*} \angle BCE + \angle BEC + \angle CBE = 180^\circ \end{eqnarray*}

また、

(4)   \begin{eqnarray*} \angle ECF + \angle BCE + \angle BCD = 180^\circ \end{eqnarray*}

(1)式を(3)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} \angle BCE + \angle BEC + 90^\circ &=& 180^\circ \end{eqnarray*}

(5)   \begin{eqnarray*} \angle BCE + \angle BEC &=& 90^\circ \end{eqnarray*}

(1)式を(4)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} 90^\circ + \angle BCE + \angle BCD = 180^\circ \end{eqnarray*}

(6)   \begin{eqnarray*} \angle BCE + \angle BCD = 90^\circ \end{eqnarray*}

(5)式と(6)式より、

(7)   \begin{eqnarray*} \angle BEC = \angle BCD \end{eqnarray*}

(2)式と(7)式より、

    \begin{eqnarray*} \angle BAC &=& \angle BCD \end{eqnarray*}

以上により、接弦定理が証明されました。

∠BACが直角のとき

∠BACが直角のときの接弦定理の証明
図. 3

BC （直径）に対する円周角と、円の接線は円の中心と接点を結ぶ線分と垂直に交わることから、

    \begin{eqnarray*} \angle BAC = \angle BCD = 90^\circ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \angle BAC &=& \angle BCD \end{eqnarray*}

以上により、接弦定理が証明されました。

∠BACが鈍角のとき

∠BACが鈍角のときの接弦定理の証明
図. 4

鋭角のときの接弦定理より、

(8)   \begin{eqnarray*} \angle BEC &=& \angle BCF \end{eqnarray*}

円に内接する四角形の対角の和は180°になることから、

(9)   \begin{eqnarray*} \angle BEC + \angle BAC = 180^\circ \end{eqnarray*}

また、

(10)   \begin{eqnarray*} \angle BCF + \angle BCD = 180^\circ \end{eqnarray*}

(8)式を(9)式に代入すると、

(11)   \begin{eqnarray*} \angle BCF + \angle BAC = 180^\circ \end{eqnarray*}

(10)式と(11)式より、

    \begin{eqnarray*} \angle BAC = \angle BCD \end{eqnarray*}

以上により、接弦定理が証明されました。

接弦定理の説明のおわりに

いかがでしたか？

冒頭でも述べた通り、

    \begin{eqnarray*} \angle BAC = \angle BCD \\\\ \end{eqnarray*}

を公式として暗記するのではなく、図を見たときにどの角とどの角が等しいかがわかるようになることが大切です。

そのためには、「目を慣れさせる」ための練習が必要ですので、基礎的な問題を通じて経験を積んでいきましょう。

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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