学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

等差数列とその一般項

数列にはいくつかの種類の数列がありますが、最も基本的な数列は等差数列であると言えるでしょう。

ここでは等差数列とは何か、式としてどう表すかといったところの説明を行います。

等比数列については下の記事を参照してください。

等比数列とその一般項

等差数列とは

一定の数を次々に加えて得られる数列を等差数列といいます。

マスマスターの思考回路

このあたりは言葉で説明するよりも、実例を見た方がわかりやすいかと思います。

次に等差数列の例をいくつか挙げてみましょう。

等差数列の例

次のような数列はすべて等差数列であるといえます。

例1

    \begin{eqnarray*} 2, 4, 6, 8, ... \end{eqnarray*}

例2

    \begin{eqnarray*} 3, 6, 9, 12, ... \end{eqnarray*}

例3

    \begin{eqnarray*} 4, 4, 4, 4, ... \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

例1では2ずつ、例2では3ずつ、例3では0ずつ、一定の数を次々に加えて得られる数を並べたものとなっています。このような数列を等差数列といいます。

等差数列の初項・交差

ここまでで、等差数列がどのようなものであるかは理解できたかと思います。

次は等差数列がどう作られるかについて考えましょう。

等差数列を一意に決定する要素として、次の二点が挙げられます。

  1. 最初の数が何か
  2. 数をいくつずつ加えるか

例えば、最初の数を2, 加えていく数を3としましょう。
このとき、次の等差数列が得られます。

    \begin{eqnarray*} 2, 5, 8, 11, ... \end{eqnarray*}

つまり、最初の数と加えていく数を決めれば、等差数列が具体的に決まるということになりますね。

この最初の数を初項、加えていく数を交差といい、上の数列は、初項 2、交差 3 の等差数列であると言います。

等差数列の一般項

一般項とは数列の第 n 番目が何になるかを意味するものです。

先の例の数列を \{a_n\} とおくと、

    \begin{eqnarray*} \{a_n\} : 2, 5, 8, 11, ... \end{eqnarray*}

であり、 a_1 から a_4 までを書き下すと、

    \begin{eqnarray*} a_1 &=& 2　\\\\ a_2 &=& 5 \\\\ a_3 &=& 8 \\\\ a_4 &=& 11 \\\\ \end{eqnarray*}

となりますが、ここで a_2 が 5 であるのは、 a_1 (= 2) に対し、交差である 3 を1回追加したからです。

同様に、a_3 は交差を2回、a_4 は交差を3回足したものになりますので、それがわかるように書き下し直すと、

    \begin{eqnarray*} a_1 &=& 2 + 3 * 0　\\\\ a_2 &=& 2 + 3 * 1\\\\ a_3 &=& 2 + 3 * 2 \\\\ a_4 &=& 2 + 3 * 3\\\\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

a_1 は交差を0回足したものと考えています。
上のように書くと数字の規則性が見えてくるでしょう。

a の添字から1を引いた値が交差にかけられていることがわかるので、この等差数列の第 n 番目である a_n は、

    \begin{eqnarray*} a_n &=& 2 + 3 * (n-1)　\\\\ \end{eqnarray*}

と表すことができます。

そして、上式の2と3はそれぞれ初項と交差を意味しています。

ここまでの結果を一般化すると、等差数列 a_n の一般項は次のように与えられることとなります。

初項 a 、交差 d の等差数列の一般項は

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a + (n-1)d　\\\\ \end{eqnarray*}

等差数列とその一般項の説明のおわりに

いかがでしたか？

一般項という言葉にはあまり馴染みがないかもしれませんが、関数と同じようなものと考えると理解しやすいでしょう。

例えば f(x) = 2x という関数は、数列でいうところの一般項に対応し、 f(1) = 2, f(2) = 4 といった具体的な計算結果はそれぞれ、数列でいうところの a_1, a_2 に対応するといった具合です。

まだ基礎の段階ですので、まずは初項、交差、一般項といった言葉をしっかり覚えておきましょう。

【数列】数列のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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