基礎知識

以前、乃木坂46さんの曲「いつかできるから今日できる」を題材にさせていただき、命題に関する基礎知識について解説しました。

【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する

今回はその続編として、十分条件と必要条件について学んでいきましょう。

十分であるか、必要であるか、という判断は命題の単元だけでなく数学全般に関連するとても重要な要素になります。
両者の違いとその考え方を身につけていきましょう。

いつかできるから今日できる(通常盤)

十分条件・必要条件・必要十分条件について

命題「ならば」と「ならば」が共に真であるとき、
はであるための必要十分条件、
はであるための必要十分条件、
といいます。

必要十分条件が成立している二つの条件は同値であるということもあります。
同値とは全く同じもののことをいいます。

簡単な具体例を見てみましょう

「パンダは動物であるための[]」

上の[]の部分に、次の4つのうちのどれが当てはまるかを考えていきましょう。

1. 十分条件であるが必要条件でない。
2. 必要条件であるが十分条件でない。
3. 必要十分条件である。
4. いずれでもない。

パンダは動物なのか？

もちろんパンダは動物ですね？

よって、「パンダは動物である」は真となります。

この時点で「パンダは動物であるための十分条件」であることが確定します。

パンダであれば動物であることを満たすために十分だということです。

動物はパンダなのか？

パンダ以外にも犬や猫など、様々な動物がいます。
だから動物ならばパンダではありません。

よって、「動物はパンダである」は偽となります。

条件（「動物」と「パンダ」）を入れ替えた命題が偽なので、「パンダは動物であるための必要条件ではない」ことが確定します。
動物だからといって、その動物は必ずしもパンダである必要はないということです。

パンダは動物であるための…

以上から、パンダは動物であるための[十分条件であるが必要条件でない。]
ということになります。

「いつかできるから今日できる」の必要十分性

「いつかできる」なら「今日できる」か？

「いつかできる」からといって、絶対に「今日できる」かはわかりません。
「今日できる」かもしれないし、できるのは明日になってしまうかもしれません。

よって、「いつかできる」は「今日できる」ことにはならず、「いつかできる」は「今日できる」の十分条件とはなりません。

「今日できる」なら「いつかできる」か？

「今日」という日は「いつか」に含まれます。

よって、「今日できる」なら「いつかできる」ことになり、「いつかできる」は「今日できる」の必要条件になります。

「いつかできる」は「今日できる」ための…

以上により、「いつかできる」は「今日できる」ための十分条件ではないが必要条件である、となります。

おわりに

「今日できる」ためには「いつかできる」ことが必要だということですね。

必要十分条件を学んだ我々は今、「いつかできるから今日できる」について、
「今の力では十分とはいえないけど、いつかできるように努力を惜しまないことが必要だよ、そしてそれができるようになるのは今日かもしれないよ。」
という乃木坂46さんからのエールをより具体的に捉えることができるようになりました。

乃木坂46さんの「いつかできるから今日できる」を聞いて、日々精進していきましょう。

次回、引き続き、乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を題材に、逆・裏・対偶について解説を行います。

【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」から学ぶ逆・裏・対偶

【基礎】集合と命題のまとめ