基礎知識

四則演算では、やってはいけないことが1つあります。

それは、0（ゼロ）で割るという行為です。

0で割るとどうなってしまうのでしょうか？
なぜ0で割ってはいけいないのでしょうか？

今回はこのあたりのことについてお話ししていきたいお思います。

割り算はかけ算である

例えば、$10$ ÷ $2$という割り算を考えましょう。

答えは当然ながら、

$10$ ÷ $2=5$

となります。
また、割り算というものは、割る数の逆数のかけ算になりますので、$10$÷$2$は、

$10$ × $\cfrac{1}{2}=5$

と表すこともできます。
この式の両辺に2をかけると、

$10 = 5$ × $2$

となります。

もともとは割り算だった式が、かけ算の式に変わりました。
このように、割り算の式はかけ算の式で表すことができるのです。

0で割ってみましょう

ここで本題の、$0$で割ったらどうなるかについて触れていきます。
$10$ ÷ $0$という式を考えましょう。この答えが仮に$x$だとすると、

$10$ ÷ $0=x$

となります。
前節で、割り算の式はかけ算の式で表すことができることを用いると、

$10 = x$ × $0$

となりますが、この式は成立しないことがわかりますか？

$0$をかけ算の式に含めると、その結果は必ず$0$になることは小学校の算数で学習済みかと思います。
しかし、上の式は$0$を使ったかけ算の結果が$10$（つまり$0$でない）となってしまっているので、
$10 = x$ × $0$は成立しないわけです。

つまり、もともとの割り算の式

$10$ ÷ $0$

も成立しないということになります。

これが、$0$で割ってはいけないということの理由になります。

「ほぼ」0で割ってみましょう

ここまでで、$0$で割ってはいけない理由はお分かりいただけたかと思います。

それでは限りなく$0$に近い、「ほぼ」$0$である数字で割るとどうなるでしょうか？

ここでは、$\cfrac{1}{0.1}, ~\cfrac{1}{0.01}, ~\cfrac{1}{0.001}, ~ \cdots$のように、分母を$\cfrac{1}{10}$倍することによって、分母を$0$に近づけていきましょう。

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{0.1} &=& 10 \\\\ \cfrac{1}{0.01} &=& 100 \\\\ \cfrac{1}{0.001} &=& 1000 \\\\ ~~~\cdots \end{array}$$

分母を$\cfrac{1}{10}$倍にすると、割り算の結果が$10$倍になっていますね？

分母を$\cfrac{1}{10}$倍にすることを無限に繰り返しても、ぴったり$0$になることはありません（かけ算の結果を$0$にするには、$0$倍しなければならないので）が、限りなく$0$に近いづいていくことは感覚的にわかるかと思います。

このとき、割り算の結果は限りなく大きくなることが予想されますね？
それを無限大$(\infty)$と呼びます。

無限大は「具体的な値ではなく、限りなく大きいもの」ということを意味します。

$0$で割ってはいけないのですが、仮に$0$で割ってしまうと、無限大になってしまうのです。
無限大は値ではありませんので、つまり計算ができません。

このことも$0$で割ってはいけないことの理由になります。

0（ゼロ）で割ってはいけない理由の説明のおわりに

いかがでしたか？
$0$で割ってはいけないことがおわかりいただけたかと思います。

無限大については、高校数学の極限という単元で学習します。

複数の文字を含んだ方程式では、注意していないと$0$で割ってしまうという場面は多くありますので、割り算を行うときには慎重に状況判断を行いましょう。

【基礎】数と式のまとめ