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基礎知識

【割り算】0(ゼロ)で割ってはいけない理由を順を追って解説するよ

0で割る

四則演算では、やってはいけないことが1つあります。

それは、0(ゼロ)で割るという行為です。

0で割るとどうなってしまうのでしょうか?
なぜ0で割ってはいけいないのでしょうか?

今回はこのあたりのことについてお話ししていきたいお思います。

割り算はかけ算である

例えば、10 ÷ 2という割り算を考えましょう。

答えは当然ながら、

10 ÷ 2=5

となります。
また、割り算というものは、割る数の逆数のかけ算になりますので、10÷2は、

10 × \cfrac{1}{2}=5

と表すこともできます。
この式の両辺に2をかけると、

10 = 5 × 2

となります。

もともとは割り算だった式が、かけ算の式に変わりました。
このように、割り算の式はかけ算の式で表すことができるのです。

0で割ってみましょう

ここで本題の、0で割ったらどうなるかについて触れていきます。
10 ÷ 0という式を考えましょう。この答えが仮にxだとすると、

10 ÷ 0=x

となります。
前節で、割り算の式はかけ算の式で表すことができることを用いると、

10 = x × 0

となりますが、この式は成立しないことがわかりますか?

0をかけ算の式に含めると、その結果は必ず0になることは小学校の算数で学習済みかと思います。
しかし、上の式は0を使ったかけ算の結果が10(つまり0でない)となってしまっているので、
10 = x × 0は成立しないわけです。

つまり、もともとの割り算の式

10 ÷ 0

も成立しないということになります。

これが、0で割ってはいけないということの理由になります。

「ほぼ」0で割ってみましょう

ここまでで、0で割ってはいけない理由はお分かりいただけたかと思います。

それでは限りなく0に近い、「ほぼ」0である数字で割るとどうなるでしょうか?

ここでは、\cfrac{1}{0.1}, ~\cfrac{1}{0.01}, ~\cfrac{1}{0.001}, ~ \cdotsのように、分母を\cfrac{1}{10}倍することによって、分母を0に近づけていきましょう。

    \begin{eqnarray*}\cfrac{1}{0.1} &=& 10 \\\\\cfrac{1}{0.01} &=& 100 \\\\\cfrac{1}{0.001} &=& 1000 \\\\ ~~~\cdots\end{eqnarray*}

分母を\cfrac{1}{10}倍にすると、割り算の結果が10倍になっていますね?

分母を\cfrac{1}{10}倍にすることを無限に繰り返しても、ぴったり0になることはありません(かけ算の結果を0にするには、0倍しなければならないので)が、限りなく0に近いづいていくことは感覚的にわかるかと思います。

このとき、割り算の結果は限りなく大きくなることが予想されますね?
それを無限大(\infty)と呼びます。

無限大は「具体的な値ではなく、限りなく大きいもの」ということを意味します。

0で割ってはいけないのですが、仮に0で割ってしまうと、無限大になってしまうのです。
無限大は値ではありませんので、つまり計算ができません。

このことも0で割ってはいけないことの理由になります。

0(ゼロ)で割ってはいけない理由の説明のおわりに

いかがでしたか?
0で割ってはいけないことがおわかりいただけたかと思います。

無限大については、高校数学の極限という単元で学習します。

複数の文字を含んだ方程式では、注意していないと0で割ってしまうという場面は多くありますので、割り算を行うときには慎重に状況判断を行いましょう。

【基礎】数と式のまとめ

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